Encontre o limite. Use a regra de LHôspital quando for apropriado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções que envolvem raízes e logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo e aplicar a Regra de L’Hôpital quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão conforme
se aproxima de 0 pelo lado positivo:
-
tende a 0, porque raiz de um número muito pequeno é também um número muito pequeno. -
tende a , já que o logaritmo natural de números próximos de 0 é muito negativo.
Então, estamos diante de uma expressão do tipo
, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Vamos reescrever
como uma fração. Para isso, podemos colocar o logaritmo no numerador e a raiz no denominador invertida:
Agora, temos a forma
, que ainda é uma forma indeterminada adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é ou .
Então, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 5
Simplificando a expressão resultante:
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 0:
Resposta
O limite
é igual a 0.