Encontre o limite. Use a regra de LHôspital quando for apropriado.
(g) lim x 0^+ raizx ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite limx 0^+ raizx ln x. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções que envolvem raízes e logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo e aplicar a Regra de L’Hôpital quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão conforme x se aproxima de 0 pelo lado positivo:
  • raizx tende a 0, porque raiz de um número muito pequeno é também um número muito pequeno.
  • ln x tende a -infty, já que o logaritmo natural de números próximos de 0 é muito negativo.
Então, estamos diante de uma expressão do tipo 0 times (-infty), que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos reescrever raizx ln x como uma fração. Para isso, podemos colocar o logaritmo no numerador e a raiz no denominador invertida:
raizx ln x = ln x1raizx
Agora, temos a forma -infty+infty, que ainda é uma forma indeterminada adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma 00 ou inftyinfty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de ln x em relação a x é 1x.
  • Derivada de 1raizx em relação a x é -12 x^-3/2 ou -12 x^3/2.
Então, aplicando a Regra de L’Hôpital:
limx to 0^+ ln x1raizx = limx to 0^+ 1x-12 x^3/2 = limx to 0^+ ( -2 x^3/2 cdot 1x )

Passo 5

Simplificando a expressão resultante:
-2 x^3/2 cdot 1x = -2 x^1/2
Agora, calculamos o limite de -2 x^1/2 quando x se aproxima de 0:
limx to 0^+ -2 raizx = -2 times 0 = 0

Resposta

O limite limx 0^+ raizx ln x é igual a 0.

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