Seja f: R^2 R a função definida por
f(x, y)=7+x^3+y^3-3 x y
Preencha os espaços abaixo:
  • (square times, square times) é ponto de sela de f.
  • (square times, square) é ponto de mínimo local de f.

Passo 1

A questão define a função f: ℝ² → ℝ dada por f(x,y) = 7 + x^3 + y^3 - 3xy. Precisamos achar os pontos críticos (onde o gradiente se anula) e depois usar o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx = partial fpartial x = 3x^2 - 3y = 0 Longrightarrow y = x^2,
fy = partial fpartial y = 3y^2 - 3x = 0 Longrightarrow x = y^2

Passo 3

Substituindo y = x^2 em x = y^2 temos x = (x^2)^2 = x^4, ou seja
x^4 - x = 0 Longrightarrow x(x^3 - 1)=0 Longrightarrow x=0 ou x=1

Passo 4

Para x=0 segue y = x^2 = 0. Para x=1 segue y = 1^2 = 1. Logo os pontos críticos são (0,0) e (1,1).

Passo 5

Montamos a Hessiana:
Hf(x,y) = fxx & fxy fyx & fyy = 6x & -3 -3 & 6y

Passo 6

No ponto (0,0) temos
Hf(0,0) = 0 & -3 -3 & 0 ,
cujo determinante é
det Hf(0,0) = 0cdot0 - (-3)cdot(-3) = -9 < 0,
logo (0,0) é ponto de sela.

Passo 7

No ponto (1,1) temos
Hf(1,1) = 6 & -3 -3 & 6 ,
cujo determinante é
det Hf(1,1) = 6cdot6 - (-3)cdot(-3) = 36 - 9 = 27 > 0,
e além disso fxx(1,1)=6>0, portanto (1,1) é ponto de mínimo local.

Resposta

O ponto de sela é (0,0) e o ponto de mínimo local é (1,1).

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