O polinômio de Taylor de grau 2 da função f(x, y)=x sen(y) no ponto (0,0) é:
Escolha uma opção:
Q(x, y)=y+x y
Q(x, y)=x y
Q(x, y)=x+x y
Q(x, y)=1+x y

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de grau 2 para a função $ f(x, y) = x \sin(y) $ no ponto f(x, y) = x sin(y) . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como construir o polinômio de Taylor para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, o polinômio de Taylor de grau 2 para uma função de duas variáveis $ f(x, y) $ em torno do ponto f(x, y) é dado por:
(a, b)
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 0 $, então simplifica para:
Q(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) + 12[ fxx(a, b)(x - a)^2 + 2fxy(a, b)(x - a)(y - b) + fyy(a, b)(y - b)^2 ]

Passo 3

Vamos calcular cada termo:
  1. Valor da função no ponto (0,0):
    f(0, 0) = 0 cdot sin(0) = 0
  2. Derivadas parciais de primeira ordem:
    • Derivada em relação a $ x $: x
    • Derivada em relação a $ y $: fx(x, y) = sin(y) Rightarrow fx(0, 0) = sin(0) = 0
  3. Derivadas parciais de segunda ordem:
    • Segunda derivada em relação a $ x $: y
    • Derivada mista ($ x $ e $ y $): fy(x, y) = x cos(y) Rightarrow fy(0, 0) = 0 cdot cos(0) = 0
    • Segunda derivada em relação a $ y $: x

Passo 4

Agora, substituímos todos esses valores na expressão do polinômio de Taylor:
Q(x, y) = 0 + 0 cdot x + 0 cdot y + 12[ 0 cdot x^2 + 2 cdot 1 cdot x y + 0 cdot y^2 ]
Simplificando:
Q(x, y) = 12 cdot 2xy = xy

Resposta

A opção correta é:
$ Q(x, y) = x y $

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