O polinômio de Taylor de grau 2 da função
no ponto
é:
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de grau 2 para a função $ f(x, y) = x \sin(y) $ no ponto
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como construir o polinômio de Taylor para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, o polinômio de Taylor de grau 2 para uma função de duas variáveis $ f(x, y) $ em torno do ponto
é dado por:
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 0 $, então simplifica para:
Passo 3
Vamos calcular cada termo:
-
Valor da função no ponto (0,0):
-
Derivadas parciais de primeira ordem:
- Derivada em relação a $ x $:
- Derivada em relação a $ y $:
- Derivada em relação a $ x $:
-
Derivadas parciais de segunda ordem:
- Segunda derivada em relação a $ x $:
- Derivada mista ($ x $ e $ y $):
- Segunda derivada em relação a $ y $:
- Segunda derivada em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, substituímos todos esses valores na expressão do polinômio de Taylor:
Simplificando:
Resposta
A opção correta é:
$ Q(x, y) = x y $