Os polinômios p_{1}(x)=5+9 x+5 x^{2} e p_{2}(x)=2+6 x^{2} estão no subespaço gerado pelos polinômios 2+x+4 x^{2}, 1-x+3 x^{2}, 3+2 x+5 x^{2} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se os polinômios p_{1}(x)=5+9x+5x^{2} e p_{2}(x)=2+6x^{2}
pertencem ao subespaço gerado pelos polinômios
q_{1}(x)=2+x+4x^{2},\quad q_{2}(x)=1-x+3x^{2},\quad q_{3}(x)=3+2x+5x^{2}.
O conteúdo aqui envolve o espaço vetorial \mathcal{P}_{2} (polinômios de grau <=2), subespaço gerado, independência linear e base. Para decidir, vamos checar se q_{1},q_{2},q_{3} são linearmente independentes e formam base de \mathcal{P}_{2}.

Passo 2

Traduzimos cada gerador em vetor de coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2}) na base canônica \{1,x,x^{2}\}:
v_{1}=(2,1,4),\quad v_{2}=(1,-1,3),\quad v_{3}=(3,2,5).
Montamos a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
M=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\\\ 1 & -1 & 2\\\\ 4 & 3 & 5 \end{pmatrix}.
Se \det(M)\neq0, então q_{1},q_{2},q_{3} são independentes.

Passo 3

Calculamos o determinante:
\det(M) =2\bigl((-1)\cdot5-2\cdot3\bigr) -1\bigl(1\cdot5-2\cdot4\bigr) +3\bigl(1\cdot3-(-1)\cdot4\bigr) =-22+3+21=2\neq0.
Logo q_{1},q_{2},q_{3} são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 3.

Passo 4

Como \dim(\mathcal{P}_{2})=3, qualquer conjunto de 3 vetores independentes em \mathcal{P}_{2} é base e, portanto, gera todo \mathcal{P}_{2}. Isso implica que todo polinômio de grau <=2 pertence ao subespaço gerado por q_{1},q_{2},q_{3}, incluindo p_{1} e p_{2}.

Resposta

Sim. Os três geradores são independentes e formam base de \mathcal{P}_{2}, então geram todo o espaço de polinômios de grau <=2, em particular p_{1} e p_{2}.

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