Os polinômios p_{1}(x)=5+9 x+5 x^{2} e p_{2}(x)=2+6 x^{2} estão no subespaço gerado pelos polinômios 2+x+4 x^{2}, 1-x+3 x^{2}, 3+2 x+5 x^{2} ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se os polinômios p_{1}(x)=5+9x+5x^{2} e p_{2}(x)=2+6x^{2}
pertencem ao subespaço gerado pelos polinômios
O conteúdo aqui envolve o espaço vetorial \mathcal{P}_{2} (polinômios de grau <=2), subespaço gerado, independência linear e base. Para decidir, vamos checar se q_{1},q_{2},q_{3} são linearmente independentes e formam base de \mathcal{P}_{2}.
Passo 2
Traduzimos cada gerador em vetor de coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2}) na base canônica \{1,x,x^{2}\}:
Logo q_{1},q_{2},q_{3} são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 3.
Passo 4
Como \dim(\mathcal{P}_{2})=3, qualquer conjunto de 3 vetores independentes em \mathcal{P}_{2} é base e, portanto, gera todo \mathcal{P}_{2}. Isso implica que todo polinômio de grau <=2 pertence ao subespaço gerado por q_{1},q_{2},q_{3}, incluindo p_{1} e p_{2}.
Resposta
Sim. Os três geradores são independentes e formam base de \mathcal{P}_{2}, então geram todo o espaço de polinômios de grau <=2, em particular p_{1} e p_{2}.