Quais dos seguintes conjuntos de função são subespaços de \mathcal{F}(\mathbb{R}) ? Justifique sua resposta.
Todas as funções f tais que f(-3)=2+f(1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = { f ∈ \mathcal{F}(\mathbb{R}) | f(-3) =2+ f(1) }
é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções de \mathbb{R} em \mathbb{R}.
Para isso, vamos checar as três propriedades básicas de subespaço: presença da função nula, fechamento em soma e fechamento em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a função nula f_0 definida por
f_0(x) = 0\quad\forall x\in\mathbb{R}
pertence a S. Para essa função temos
f_0(-3)=0 \quad\text{e}\quad f_0(1)=0,
logo a condição em S exigiria
0 = 2 + 0,
ou seja 0=2, o que é falso. Portanto f_0\notin S.

Passo 3

Mesmo sem a função nula, podemos reforçar mostrando que S não é fechado em adição. Se f,g\in S, então
f(-3)=2+f(1), \quad g(-3)=2+g(1).
Para a soma h=f+g teríamos
h(-3)=f(-3)+g(-3)=\bigl(2+f(1)\bigr)+\bigl(2+g(1)\bigr) =4 + \bigl(f(1)+g(1)\bigr),
enquanto
h(1)=f(1)+g(1).
A condição para h\in S seria
h(-3)=2 + h(1) \;\Longrightarrow\; 4 + \bigl(f(1)+g(1)\bigr) =2 + \bigl(f(1)+g(1)\bigr),
isto é 4=2, absurdo. Logo f+g\notin S.

Passo 4

Como S falha já na presença da função nula e no fechamento em soma, não é necessário checar multiplicação por escalar. Mas, por curiosidade, para um escalar \lambda e f\in S teríamos
(\lambda f)(-3) =\lambda\,f(-3) =\lambda\bigl(2+f(1)\bigr) =2\lambda + \lambda f(1),
deveria igualar
2 + (\lambda f)(1) =2 + \lambda f(1),
o que só ocorre se 2\lambda=2, ou seja \lambda=1. Logo não há fechamento geral por escalares.

Resposta

O conjunto dado não é um subespaço de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

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