Quais dos seguintes conjuntos de função são subespaços de
? Justifique sua resposta.
Todas as funções
tais que
.
Todas as funções
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = { f ∈ | f(-3)
f(1) }
é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções de em
.
Para isso, vamos checar as três propriedades básicas de subespaço: presença da função nula, fechamento em soma e fechamento em multiplicação por escalar.
S = { f ∈
é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções de
Para isso, vamos checar as três propriedades básicas de subespaço: presença da função nula, fechamento em soma e fechamento em multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a função nula
definida por
pertence a
. Para essa função temos
logo a condição em
exigiria
ou seja
, o que é falso. Portanto
.
Passo 3
Mesmo sem a função nula, podemos reforçar mostrando que
não é fechado em adição. Se
, então
Para a soma
teríamos
enquanto
A condição para
seria
isto é
, absurdo. Logo
.
Passo 4
Como
falha já na presença da função nula e no fechamento em soma, não é necessário checar multiplicação por escalar. Mas, por curiosidade, para um escalar
e
teríamos
deveria igualar
o que só ocorre se
, ou seja
. Logo não há fechamento geral por escalares.
Resposta
O conjunto dado não é um subespaço de
.