Considere o conjunto
. Mostre que (
) não é um espaço vetorial sobre
em relação a cada uma das seguintes operações
dadas por:
e
.
Passo 1
O enunciado define em
a “adição”
e a multiplicação por escalar
Para que
seja espaço vetorial sobre
, entre outros axiomas, a adição deve ser comutativa:
Basta encontrar uma violação dessa propriedade para concluir que não é espaço vetorial.
Passo 2
Sejam
Calculemos
e
usando a operação dada.
Passo 3
Pelo enunciado,
enquanto
Note que a segunda coordenada coincide em ambos, mas a primeira é
Em geral,
a menos que
. Assim,
para vetores arbitrários.
Passo 4
Como a adição definida em
não é comutativa, falha um dos axiomas de espaço vetorial. Logo
não é um espaço vetorial sobre
.