Considere o conjunto V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \mid x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}\right\}. Mostre que ( V,+, \cdot ) não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} em relação a cada uma das seguintes operações +\mathrm{e} \cdot dadas por:
\left(x_{1}, x_{2}\right)+\left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1}-y_{1}, x_{2}+y_{2}\right) e \lambda \cdot\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\lambda^{2} x_{1}, \lambda^{2} x_{2}\right).

Passo 1

O enunciado define em V=\{(x_1,x_2)\mid x_1,x_2\in\mathbb{R}\} a “adição”
(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1 - y_1,\;x_2 + y_2)
e a multiplicação por escalar
\lambda\cdot(x_1,x_2)=(\lambda^2 x_1,\;\lambda^2 x_2).
Para que (V,+,\cdot) seja espaço vetorial sobre \mathbb{R}, entre outros axiomas, a adição deve ser comutativa:
v+w = w+v\quad\forall\,v,w\in V.
Basta encontrar uma violação dessa propriedade para concluir que não é espaço vetorial.

Passo 2

Sejam
v=(x_1,x_2),\quad w=(y_1,y_2).
Calculemos v+w e w+v usando a operação dada.

Passo 3

Pelo enunciado,
v+w = (x_1 - y_1,\;x_2 + y_2),
enquanto
w+v = (y_1 - x_1,\;y_2 + x_2).
Note que a segunda coordenada coincide em ambos, mas a primeira é
x_1 - y_1 \quad\text{versus}\quad y_1 - x_1 = -(x_1 - y_1).
Em geral, (x_1-y_1)\neq-(x_1-y_1) a menos que x_1=y_1. Assim,
v+w \neq w+v
para vetores arbitrários.

Passo 4

Como a adição definida em V não é comutativa, falha um dos axiomas de espaço vetorial. Logo (V,+,\cdot) não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

(V,+,\cdot) não é espaço vetorial porque a adição não satisfaz a comutatividade.

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