Os Polinômios de Hermite são uma base do espaço dos polinômios que, até grau 3, são: 1,2 x, 4 x^2-2,8 x^3-12 x. Descrever o espaço dos polinômios nesta base é útil ao lidar com osciladores harmônicos (sistemas que se comportam como massa-mola, pêndulos) em mecânica quântica para descrever as ligações químicas e fenômenos como reações químicas, fluorescência e absorção de luz por moléculas. Esses polinômios também são úteis em processamento de sinais pois as relações entre o sinal e as frequências presentes é trivial ^[ Nota 3].
Escreva a matriz do operador derivação do espaço P4(R) nesta base.

Passo 1

O enunciado pede a matriz do operador derivação
D:;P3(R)to P2(R)
na base de Polinômios de Hermite
H0,,H1,,H2,,H3=1,,2x,,4x^2-2,,8x^3-12x.
Vamos usar a propriedade clássica dos Hermite (“físicos”):
Hn'(x)=2n,Hn-1(x)

Passo 2

Aplicamos D a cada vetor de base e expressamos o resultado na mesma base.
1. D[H0]=D[1]=0
Como 0=0cdot H0+0cdot H1+0cdot H2+0cdot H3, a primeira coluna será toda zero.
2. D[H1]=D[2x]=2
Note que 2=2cdot H0+0cdot H1+0cdot H2+0cdot H3, pois H0=1.
Logo a segunda coluna tem entrada 2 na linha de H0 e zeros nas demais.
3. D[H2]=D[4x^2-2]=8x=4,(2x)=4,H1
Então D[H2]=0cdot H0+4cdot H1+0cdot H2+0cdot H3, produzindo a terceira coluna com 4 na posição de H1.
4. D[H3]=D[8x^3-12x]=24x^2-12=6,(4x^2-2)=6,H2
Assim D[H3]=0cdot H0+0cdot H1+6cdot H2+0cdot H3, e a quarta coluna tem 6 na posição de H2.

Passo 3

Reunindo as colunas, a matriz de D na base H0,H1,H2,H3 é
[D] = 0 & 2 & 0 & 0 [6pt] 0 & 0 & 4 & 0 [6pt] 0 & 0 & 0 & 6 [6pt] 0 & 0 & 0 & 0 ]

Resposta

[D] = 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 6 0 & 0 & 0 & 0

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