Os Polinômios de Hermite são uma base do espaço dos polinômios que, até grau 3, são:
. Descrever o espaço dos polinômios nesta base é útil ao lidar com osciladores harmônicos (sistemas que se comportam como massa-mola, pêndulos) em mecânica quântica para descrever as ligações químicas e fenômenos como reações químicas, fluorescência e absorção de luz por moléculas. Esses polinômios também são úteis em processamento de sinais pois as relações entre o sinal e as frequências presentes é trivial
.
Escreva a matriz do operador derivação do espaço
nesta base.
Passo 1
O enunciado pede a matriz do operador derivação
na base de Polinômios de Hermite
.
Vamos usar a propriedade clássica dos Hermite (“físicos”):
na base de Polinômios de Hermite
Vamos usar a propriedade clássica dos Hermite (“físicos”):
Passo 2
Aplicamos
a cada vetor de base e expressamos o resultado na mesma base.
Como
Note que
Logo a segunda coluna tem entrada
Então
Assim
Passo 3
Reunindo as colunas, a matriz de
na base
é