Sabendo que
5 z-2z(z-1)=2z-3-3 z-3 z^2-3 z^3-3 z^4-cdotspara 0<|z|<1, e que
5 z-2z(z-1)=3z-1+2-2(z-1)+2(z-1)^2-2(z-1)^3+cdotspara 0<|z-1|<1, calcule
integral|z-5|<52 5 z-2z(z-1) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno de 5z-2z(z-1) ao longo do círculo |z-5|=5/2. O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy (ou dos resíduos) para integrais de funções analíticas em um domínio. Vamos precisar identificar os polos de 5z-2z(z-1) e checar se eles ficam dentro do disco |z-5|<5/2.

Passo 2

As singularidades da função estão em z=0 e z=1. A distância de cada polo até o centro do contorno (que é em z=5) é:
  • Para z=0: |0-5|=5,
  • Para z=1: |1-5|=4.

Passo 3

Como o raio do círculo é 5/2=2,5, vemos que tanto 5 quanto 4 são maiores que 2,5. Portanto nenhum dos polos está dentro do disco |z-5|<2,5.

Passo 4

Como a função é analítica em todo o interior do contorno e não há polos dentro, pelo Teorema de Cauchy (ou pelo Teorema dos Resíduos com soma de resíduos zero), a integral ao longo do contorno é zero.

Resposta

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