( 4,0 pont os) Calcule det Q, sabendo que Q é unia matrix 4 \times 4 tal que det Q \neq 0 e Q^{3}+2 Q^{2}=0.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz Q de ordem 4\times4 com a condição \det Q \neq 0 e a relação matricial
Q^{3}+2Q^{2}=0.
A pergunta é: calcular \det Q.
Informações relevantes listadas:
  • Q é 4\times4.
  • \det Q \neq 0 (ou seja, Q é invertível).
  • Q^{3}+2Q^{2}=0.

Passo 2

Vamos manipular a relação dada. Podemos fatorar Q^{3}+2Q^{2} como produto:
Q^{3}+2Q^{2}=Q^{2}(Q+2I),
onde I é a matriz identidade 4\times4. Explicação: assim como em polinômios, a multiplicação matricial é distributiva e associativa, então é válido tirar o fator comum Q^{2}.

Passo 3

Da igualdade matricial obtida temos
Q^{2}(Q+2I)=0,
onde 0 é a matriz nula 4\times4. Como \det Q\neq 0, a matriz Q é invertível. Então vamos verificar a invertibilidade de Q^{2}: use a propriedade dos determinantes
\det(Q^{2})=(\det Q)^{2}.
Como \det Q\neq 0, segue que (\det Q)^{2}\neq 0, logo \det(Q^{2})\neq 0 e, portanto, Q^{2} é invertível. Observação sobre a propriedade usada: para qualquer matriz quadrada A e inteiro k\ge1, \det(A^{k})=(\det A)^{k}.

Passo 4

Se A é uma matriz invertível e A B = 0, então multiplicando à esquerda por A^{-1} obtemos B=0. Aplicando isso ao caso A=Q^{2} e B=(Q+2I), como Q^{2} é invertível, multiplicamos a igualdade Q^{2}(Q+2I)=0 pela esquerda por (Q^{2})^{-1} e obtemos
Q+2I=0.
Explicação: a inversa é duas-faced (esquerda e direita) para matrizes invertíveis, então essa multiplicação é legítima.

Passo 5

Da igualdade Q+2I=0 segue imediatamente
Q=-2I.
Isto quer dizer que Q é a matriz identidade multiplicada pelo escalar -2. Como Q é 4\times4, Q=-2I_{4}.

Passo 6

Agora calculamos o determinante de Q. Usamos a propriedade do determinante para múltiplos escalares da identidade: para a matriz identidade I_{n} de ordem n e escalar c,
\det(cI_{n})=c^{n}\det(I_{n})=c^{n},
pois \det(I_{n})=1. No nosso caso c=-2 e n=4, logo
\det Q=\det(-2I_{4})=(-2)^{4}=16.
Alternativa de verificação rápida: os autovalores de Q são todos -2 (quatro vezes) e o determinante é o produto dos autovalores, também dando (-2)^{4}=16.

Resposta

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