( 4,0 pont os) Calcule det
, sabendo que
é unia matrix
tal que det
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de ordem
com a condição
e a relação matricial
A pergunta é: calcular
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
-
é . -
(ou seja, é invertível). -
.
Passo 2
Vamos manipular a relação dada. Podemos fatorar
como produto:
onde
é a matriz identidade
. Explicação: assim como em polinômios, a multiplicação matricial é distributiva e associativa, então é válido tirar o fator comum
.
Passo 3
Da igualdade matricial obtida temos
onde
é a matriz nula
. Como
, a matriz
é invertível. Então vamos verificar a invertibilidade de
: use a propriedade dos determinantes
Como
, segue que
, logo
e, portanto,
é invertível. Observação sobre a propriedade usada: para qualquer matriz quadrada
e inteiro
,
.
Passo 4
Se
é uma matriz invertível e
, então multiplicando à esquerda por
obtemos
. Aplicando isso ao caso
e
, como
é invertível, multiplicamos a igualdade
pela esquerda por
e obtemos
Explicação: a inversa é duas-faced (esquerda e direita) para matrizes invertíveis, então essa multiplicação é legítima.
Passo 5
Da igualdade
segue imediatamente
Isto quer dizer que
é a matriz identidade multiplicada pelo escalar
. Como
é
,
.
Passo 6
Agora calculamos o determinante de
. Usamos a propriedade do determinante para múltiplos escalares da identidade: para a matriz identidade
de ordem
e escalar
,
pois
. No nosso caso
e
, logo
Alternativa de verificação rápida: os autovalores de
são todos
(quatro vezes) e o determinante é o produto dos autovalores, também dando
.