Verifique se as funções dadas são soluções das respectivas equações diferenciais:
k^{2} \Phi_{x x}=\Phi_{t} \quad com função \quad \Phi(x, t)=e^{-k^{2} \lambda^{2} t} \sin (\lambda x) \quad sendo k e \lambda constantes reais.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
k^{2}\Phi_{xx}=\Phi_{t},
e a função candidata
\Phi(x,t)=e^{-k^{2}\lambda^{2}t}\sin(\lambda x),
onde k e \lambda são constantes reais. A pergunta é: verificar se essa função é solução da equação dada. Informações relevantes: a função é um produto de uma função que depende só de t e outra que depende só de x; precisamos calcular \Phi_{xx} (segunda derivada parcial em x) e \Phi_{t} (derivada parcial em t) e comparar ambos os lados da equação.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): quando uma função tem a forma produto
\Phi(x,t)=A(t)\,B(x),
as derivadas parciais se comportam assim:
\Phi_{x}=A(t)\,B'(x),\qquad \Phi_{t}=A'(t)\,B(x).
Também vamos usar a regra da cadeia para derivar e^{\text{(algo em }t)} e as derivadas conhecidas de \sin e \cos:
\frac{d}{dx}\sin(\lambda x)=\lambda\cos(\lambda x),\qquad \frac{d}{dx}\cos(\lambda x)=-\lambda\sin(\lambda x),
\frac{d}{dt}e^{-k^{2}\lambda^{2}t}=-k^{2}\lambda^{2}e^{-k^{2}\lambda^{2}t}.
Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular \Phi_{x}. Aqui A(t)=e^{-k^{2}\lambda^{2}t} é tratado como constante ao derivar em x, e B(x)=\sin(\lambda x).
Usando \frac{d}{dx}\sin(\lambda x)=\lambda\cos(\lambda x), obtemos
\Phi_{x}=e^{-k^{2}\lambda^{2}t}\cdot\lambda\cos(\lambda x).

Passo 4

Calcular \Phi_{xx}. Derivamos \Phi_{x} em relação a x. A exponencial continua sendo constante em relação a x; derivamos \lambda\cos(\lambda x) usando \frac{d}{dx}\cos(\lambda x)=-\lambda\sin(\lambda x):
\Phi_{xx}=e^{-k^{2}\lambda^{2}t}\cdot\lambda\cdot\big(-\lambda\sin(\lambda x)\big).
Simplificando o produto \lambda\cdot(-\lambda)=-\lambda^{2}, temos
\Phi_{xx}=-\lambda^{2}e^{-k^{2}\lambda^{2}t}\sin(\lambda x).

Passo 5

Multiplicar \Phi_{xx} por k^{2} (lado esquerdo da equação):
k^{2}\Phi_{xx}=k^{2}\big(-\lambda^{2}e^{-k^{2}\lambda^{2}t}\sin(\lambda x)\big) =-k^{2}\lambda^{2}e^{-k^{2}\lambda^{2}t}\sin(\lambda x).

Passo 6

Calcular \Phi_{t} (lado direito da equação). Agora B(x)=\sin(\lambda x) é constante em relação a t, e A(t)=e^{-k^{2}\lambda^{2}t}. Aplicando a regra da cadeia para a exponencial:
\Phi_{t}=\big(-k^{2}\lambda^{2}e^{-k^{2}\lambda^{2}t}\big)\sin(\lambda x) =-k^{2}\lambda^{2}e^{-k^{2}\lambda^{2}t}\sin(\lambda x).

Passo 7

Comparar os dois lados: do Passo 5 temos
k^{2}\Phi_{xx}=-k^{2}\lambda^{2}e^{-k^{2}\lambda^{2}t}\sin(\lambda x),
e do Passo 6 temos
\Phi_{t}=-k^{2}\lambda^{2}e^{-k^{2}\lambda^{2}t}\sin(\lambda x).
Os dois são iguais para todos x,t. Portanto a função satisfaz a equação diferencial parcial dada.

Resposta

Sim — \Phi(x,t)=e^{-k^{2}\lambda^{2}t}\sin(\lambda x) é solução de k^{2}\Phi_{xx}=\Phi_{t}.

Exercícios relacionados