Verifique se as funções dadas são soluções das respectivas equações diferenciais:
com função
sendo
e
constantes reais.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial
e a função candidata
onde
e
são constantes reais. A pergunta é: verificar se essa função é solução da equação dada. Informações relevantes: a função é um produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
; precisamos calcular
(segunda derivada parcial em
) e
(derivada parcial em
) e comparar ambos os lados da equação.
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): quando uma função tem a forma produto
as derivadas parciais se comportam assim:
Também vamos usar a regra da cadeia para derivar
e as derivadas conhecidas de
e
:
Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular
. Aqui
é tratado como constante ao derivar em
, e
.
Usando , obtemos
Usando
Passo 4
Calcular
. Derivamos
em relação a
. A exponencial continua sendo constante em relação a
; derivamos
usando
:
Simplificando o produto
, temos
Passo 5
Multiplicar
por
(lado esquerdo da equação):
Passo 6
Calcular
(lado direito da equação). Agora
é constante em relação a
, e
. Aplicando a regra da cadeia para a exponencial:
Passo 7
Comparar os dois lados: do Passo 5 temos
e do Passo 6 temos
Os dois são iguais para todos
. Portanto a função satisfaz a equação diferencial parcial dada.
Resposta
Sim —
é solução de
.