Questão C. (campos de 3-vetores em
(\mathbb{R}^{3}) )
O objetivo desta questão é, assim como nas questões A e B , reinterpretar o que é o divergente de um campo vetorial, tendo em vista a discussão no fim da aula do dia 24 .
Sejam
\vec{u}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{v}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} e
\vec{w}=c_{1} \vec{\imath}+c_{2} \vec{\jmath}+c_{3} \vec{k} vetores em
\mathbb{R}^{3} . Podemos então associar
\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ao 3-vetor definido por:
\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde
\vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} é o paralelogramo tridimensional gerado pelos vetores da base canônica
\{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\} .
Dizemos que
\mathfrak{F} é um campo de 3 -vetores em
\mathbb{R}^{3} definido em um domínio
D \subset \mathbb{R}^{3} se a cada
(x, y, z) \in D associa-se um único paralelogramo orientado:
\mathfrak{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde
f: D \longrightarrow \mathbb{R} é uma função escalar definida em
D . Com a noção de campos de 3-vetores, podemos agora estender o gradiente como um operador
\nabla que leva campos de 2 -vetores em campos de 3 -vetores definido da seguinte forma: para
\mathcal{F}=P \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+Q \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+R \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} um campo de 2-vetores, definimos um novo campo de 3 -vetores tomando:
\nabla \mathcal{F}(x, y, z)=\nabla P(x, y, z) \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+\nabla Q(x, y, z) \wedge \vec{k} \wedge \vec{\imath}+\nabla R(x, y, z) \wedge \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Calcule
\nabla \mathcal{F} para os seguintes campos de 2 -vetores:
\mathcal{F}=(x+y+z) \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+(x-y-z) \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+(z-y) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Agora, dado
\mathcal{F} um campo de 2 -vetores, considere o campo vetorial
\vec{F} que está identificado
\operatorname{com} \mathcal{F} , isto é,
\mathcal{F} \cong \vec{F} (veja a questão B). Mostre que:
\nabla \mathcal{F}=\operatorname{div} \vec{F} \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Moral da história 2: As questões B e C mostram que a mesma filosofia agora se aplica no espaço euclidiano
\mathbb{R}^{3} . Se pensarmos que funções são 0 -campos vetoriais (ou campos escalares), então podemos pensar o gradiente como um operador que leva
n -campos vetoriais em (
n+1 )-campos vetoriais, com
n=0,1,2 , satisfazendo
\nabla^{2}=0 . Assim, representando por
\mathfrak{X}_{n}\left(\mathbb{R}^{3}\right) o espaço de todos os
n -campos vetoriais, podemos expressar essa ideia no diagrama:
\mathfrak{X}_{0}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \xrightarrow{\nabla} \mathfrak{X}_{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \xrightarrow{\nabla} \mathfrak{X}_{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \xrightarrow{\nabla} \mathfrak{X}_{3}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \xrightarrow{\nabla} 0
Observe, entretanto, que a razão para não introduzirmos 2 -campos ou 3 -campos de vetores num curso de cálculo III em
\mathbb{R}^{3} é que podemos identificar um 2-campo
\mathcal{F} com um campo vetorial
\vec{F} , isto é,
\mathcal{F} \cong \vec{F} e um 3-campo
\mathfrak{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} como uma função, simplesmente considerando sua parte escalar
f . Assim, falamos apenas do rotacional e do divergente em vez de introduzirmos o operador
\nabla para campos e 2-campos.
E em dimensões maiores? Como fica? A necessidade de falar de
n -campos de vetores surge a partir do momento em que não é mais possível identificar campos com
n -campos. Por exemplo, em dimensão 4 , temos uma base canônica
\{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}, \vec{l}\} composta por 4 vetores. Entretanto, temos agora 6 combinações distintas de 2-paralelogramos sem repetição :
\vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \quad \vec{\jmath} \wedge \vec{k} \quad \vec{k} \wedge \vec{l} \quad \vec{l} \wedge \vec{\imath} \quad \vec{\imath} \wedge \vec{k} \quad \vec{\jmath} \wedge \vec{l}
De modo que o espaço vetorial composto por 2 -vetores (isto é, paralelogramos gerados por um par de vetores) possui dimensão 6, e não 4. Este exemplo mostra a necessidade de se trabalhar com n-campos em vez de campos e assim, o operador
\nabla é a generalização correta das noções de rotacional e divergente que existem para campos em
\mathbb{R}^{2} ou em
\mathbb{R}^{3} . Tudo isto também está relacionado ao conceito de formas diferenciais, mas falar disso foge bastante do escopo do curso.