(3,5 pontos) Resolva a rquaçio matricial \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}\frac{7}{2} & 4 \\\\ 3 & 7\end{array}\right)=X-\left(\begin{array}{cc}-1 & -3 \\\\ -2 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação matricial
\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{7}{2} & 4 \\[4pt] 3 & 7\end{pmatrix} = X - \begin{pmatrix}-1 & -3 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix}.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}\frac{7}{2} & 4 \\[4pt] 3 & 7\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}-1 & -3 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix},
e a incógnita é a matriz X. O objetivo é encontrar X.]

Passo 2

Conceitos e método que vamos usar (explicação didática):
  • Duas matrizes são iguais se e só se todos os seus elementos correspondentes são iguais. Ou seja, igualdade matricial é verificada elemento a elemento.
  • A adição e subtração de matrizes de mesma ordem é feita elemento a elemento: se M=(m_{ij}) e N=(n_{ij}) então M+N=(m_{ij}+n_{ij}) e M-N=(m_{ij}-n_{ij}).
  • Para isolar X na equação A+B = X - C, somamos C em ambos os lados. Isso é permitido porque, assim como em números, adicionar a mesma matriz aos dois lados mantém a igualdade. Assim obtemos
X = (A+B) + C.
Agora vamos calcular A+B elemento a elemento e depois somar C.

Passo 3

Calcular A+B elemento a elemento (mostrando cada conta):
Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
\frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{1+7}{2} = \frac{8}{2} = 4.
Elemento (linha 1, coluna 2):
1 + 4 = 5.
Elemento (linha 2, coluna 1):
0 + 3 = 3.
Elemento (linha 2, coluna 2):
2 + 7 = 9.
Portanto
A+B = \begin{pmatrix}4 & 5 \\[4pt] 3 & 9\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular X = (A+B)+C elemento a elemento (mostrando cada conta):
Somamos a matriz C=\begin{pmatrix}-1 & -3 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix} a A+B.
Linha 1, coluna 1:
4 + (-1) = 3.
Linha 1, coluna 2:
5 + (-3) = 2.
Linha 2, coluna 1:
3 + (-2) = 1.
Linha 2, coluna 2:
9 + 4 = 13.
Logo
X = \begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 1 & 13\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcular X - C e confirmar que dá A+B.
Linha 1, coluna 1:
3 - (-1) = 4.
Linha 1, coluna 2:
2 - (-3) = 5.
Linha 2, coluna 1:
1 - (-2) = 3.
Linha 2, coluna 2:
13 - 4 = 9.
Obtemos \begin{pmatrix}4 & 5 \\[4pt] 3 & 9\end{pmatrix}, que é exatamente A+B. Portanto a solução está correta.]

Resposta

X=\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 1 & 13\end{pmatrix}]

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