(3,5 pontos) Clasifique e renoba o sistema linear \left\{\begin{array}{c}x+3 y+2 z=2 \\\\ 3 x+5 y+4 z=4 \\\\ 5 x+3 y+4 z=-10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+3y+2z=2,\\[4pt] 3x+5y+4z=4,\\[4pt] 5x+3y+4z=-10, \end{cases}
e pede que a gente o classifique e o (re)solva. Ou seja:
  • Identificar se o sistema é compatível (tem solução) ou incompatível (sem solução).
  • Se for compatível, dizer se tem solução única ou infinitas soluções e, quando houver, apresentar as soluções.
Informações relevantes do enunciado (extraídas diretamente do próprio enunciado):
  • As três equações acima são as equações que definem o sistema.
  • Os coeficientes formam a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 2\\[2pt]3 & 5 & 4\\[2pt]5 & 3 & 4\end{pmatrix}
e o termo independente é o vetor
b=\begin{pmatrix}2\\[2pt]4\\[2pt]-10\end{pmatrix}.]

Passo 2

Estratégia básica e por quê (breve): primeiro verifico se \det(A)\neq0. Se \det(A)\neq0 então o sistema tem solução única. Se \det(A)=0 então não há solução única: pode ser que haja infinitas soluções (sistema compatível indeterminado) ou que não haja solução (sistema incompatível). Neste último caso preciso comparar as posturas (rangos) da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada [A\mid b], o que faço via eliminação de Gauss.
Breve explicação das ferramentas que vou usar:
  • O determinante de A (quando A é quadrada) indica se A é invertível. Se A é invertível ( \det(A)\neq0) então existe solução única dada por x=A^{-1}b.
  • Eliminação de Gauss: aplico operações elementares de linha (somar múltiplos de uma linha em outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo) para triangularizar a matriz aumentada; aí leio se aparece uma equação impossível (como 0= \text{constante não nula}ã) indicando inconsistência, ou se sobra grau de liberdade indicando infinitas soluções.

Passo 3

Calculo do determinante de A. Vou expandir pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 4\\[2pt]3 & 4\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[2pt]5 & 4\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 5\\[2pt]5 & 3\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}5 & 4\\[2pt]3 & 4\end{pmatrix}=5\cdot4-4\cdot3=20-12=8,
\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[2pt]5 & 4\end{pmatrix}=3\cdot4-4\cdot5=12-20=-8,
\det\begin{pmatrix}3 & 5\\[2pt]5 & 3\end{pmatrix}=3\cdot3-5\cdot5=9-25=-16.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot8-3\cdot(-8)+2\cdot(-16)=8+24-32=0.
Conclusão deste passo: \det(A)=0, logo A não é invertível e o sistema não tem solução única. Preciso então usar eliminação de Gauss para decidir entre incompatível ou compatível com infinitas soluções.]

Passo 4

Escrevo a matriz aumentada [A\mid b]:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 2\\[2pt] 3 & 5 & 4 & 4\\[2pt] 5 & 3 & 4 & -10 \end{array}\right).
Vou aplicar operações elementares sobre as linhas para triangularizar.
Lembrete rápido sobre operações permitidas (só para relembrar): podemos (i) trocar duas linhas, (ii) multiplicar uma linha por um escalar não nulo, (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.]

Passo 5

Eliminação: primeiro zerei as entradas abaixo de a_{11}=1 usando R_2\leftarrow R_2-3R_1 e R_3\leftarrow R_3-5R_1.
Calculemos R_2-3R_1:
  • Primeira coluna: 3-3\cdot1=0.
  • Segunda coluna: 5-3\cdot3=5-9=-4.
  • Terceira coluna: 4-3\cdot2=4-6=-2.
  • Termo independente: 4-3\cdot2=4-6=-2.
Calculemos R_3-5R_1:
  • Primeira coluna: 5-5\cdot1=0.
  • Segunda coluna: 3-5\cdot3=3-15=-12.
  • Terceira coluna: 4-5\cdot2=4-10=-6.
  • Termo independente: -10-5\cdot2=-10-10=-20.
A matriz aumentada fica então
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 2\\[2pt] 0 & -4 & -2 & -2\\[2pt] 0 & -12 & -6 & -20 \end{array}\right).]

Passo 6

Observação: as duas primeiras colunas das linhas 2 e 3 parecem proporcionais: (-12,-6)=3\cdot(-4,-2). Isso significa que as linhas 2 e 3 têm a mesma combinação linear nas colunas dos coeficientes. Para verificar consistência, subtraio 3 vezes a linha 2 da linha 3: R_3\leftarrow R_3-3R_2.
Calculemos R_3-3R_2:
  • Primeira coluna: 0-3\cdot0=0.
  • Segunda coluna: -12-3\cdot(-4)=-12+12=0.
  • Terceira coluna: -6-3\cdot(-2)=-6+6=0.
  • Termo independente: -20-3\cdot(-2)=-20+6=-14.
Portanto a linha 3 fica [0\;0\;0\mid -14].

Passo 7

Interpretação do resultado da eliminação: a linha final [0\;0\;0\mid -14] corresponde à equação
0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=-14,
ou seja
0=-14,
que é uma contradição impossível. Isso significa que o sistema é inconsistente: não existe tripla (x,y,z) que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.
Em termos de teoria de matrizes: o posto (rank) da matriz dos coeficientes A é 2 (há duas linhas linearmente independentes), enquanto o posto da matriz aumentada [A\mid b] é 3 (porque a linha [0\;0\;0\mid -14] mostra que a coluna de termos independentes não está no espaço gerado pelas colunas de A). Como os postos são diferentes, o sistema é incompatível (teorema de Rouché–Capelli).

Passo 8

Conclusão e palavras de incentivo: chegamos a que o sistema não tem solução. Pode ser frustrante quando aparece uma contradição, mas é um resultado perfeitamente válido — indica que as três equações são incompatíveis entre si. Bom trabalho em seguir a eliminação até o fim!

Resposta

Classificação: sistema incompatível (inconsistente).
Solução: não existe solução (o sistema não tem solução).

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