…é só a ponta do iceberg. Próximo ao polo norte, foi medido, via satélite, o volume exposto de um iceberg como sendo igual a 1000000 m^{3}. Calcule o volume total desse iceberg (considere o iceberg composto apenas de água doce ( \rho_{\text {gelo }}=920 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) flutuando em água salgada, cuja densidade é 1020 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume total do iceberg, sabendo que o volume exposto (parte acima da água) é 1000000\\ \mathrm{m}^3. As informações fornecidas são:
  • Volume exposto: V_{\text{exp}} = 1000000\\ \mathrm{m}^3.
  • Densidade do gelo (água doce): \rho_{\text{gelo}} = 920\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Densidade da água salgada: \rho_{\text{água}} = 1020\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3á.
O que se deve achar: o volume total V_{\text{total}} do iceberg.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicação didática):
  • Quando um corpo flutua em equilíbrio, vale o princípio de Arquimedes: o peso do corpo é igual à força de empuxo (peso do fluido deslocado).
  • Em fórmulas: o peso do gelo é \rho_{\text{gelo}}\,V_{\text{total}}\,g e o empuxo (peso do volume de água deslocado) é \rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,gá, onde:
    • \rho_{\text{gelo}} é a densidade do gelo (kg/m^3),
    • \rho_{\text{água}}á é a densidade da água salgada (kg/m^3),
    • V_{\text{total}} é o volume total do iceberg (m^3),
    • V_{\text{sub}} é o volume submerso do iceberg (m^3),
    • g é a aceleração da gravidade (m/s^2).
  • Note que g aparece em ambos os lados da igualdade e por isso vai se cancelar; isso é ótimo porque não precisamos do valor numérico de g.

Passo 3

Aplicando Arquimedes em forma de equação e simplificando:
\rho_{\text{gelo}}\,V_{\text{total}}\,g = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,g.á
Cancelando g em ambos os lados:
\rho_{\text{gelo}}\,V_{\text{total}} = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}.á

Passo 4

Relacionando volumes submerso e total:
  • O volume submerso é a diferença entre o volume total e o volume exposto:
V_{\text{sub}} = V_{\text{total}} - V_{\text{exp}}.
Substituindo na equação do passo anterior:
\rho_{\text{gelo}}\,V_{\text{total}} = \rho_{\text{água}}\,(V_{\text{total}} - V_{\text{exp}}).á
Agora desenvolvo a álgebra passo a passo para isolar V_{\text{total}}:
\rho_{\text{gelo}}\,V_{\text{total}} = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{total}} - \rho_{\text{água}}\,V_{\text{exp}}.áá
Levo os termos com V_{\text{total}} para o mesmo lado:
\rho_{\text{água}}\,V_{\text{total}} - \rho_{\text{gelo}}\,V_{\text{total}} = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{exp}}.áá
Factore V_{\text{total}}:
V_{\text{total}}\,(\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{gelo}}) = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{exp}}.áá
Finalmente:
V_{\text{total}} = \frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{gelo}}}\;V_{\text{exp}}.áá

Passo 5

Substituo os números e calculo:
  • Primeiro calcule o denominador:
\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{gelo}} = 1020 - 920 = 100\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.á
  • A razão:
\frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{gelo}}} = \frac{1020}{100} = 10{,}2.áá
  • Logo:
V_{\text{total}} = 10{,}2 \times V_{\text{exp}} = 10{,}2 \times 1000000\\ \mathrm{m}^3.
  • Resultado numérico:
V_{\text{total}} = 10{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{m}^3 = 10200000\\ \mathrm{m}^3.

Passo 6

Interpretação e verificação (didática extra, para fixar a ideia):
  • O volume submerso é
V_{\text{sub}} = V_{\text{total}} - V_{\text{exp}} = 10200000 - 1000000 = 9200000\\ \mathrm{m}^3.
  • A fração submersa em relação ao total é
\frac{V_{\text{sub}}}{V_{\text{total}}} = \frac{9200000}{10200000} = \frac{920}{1020} \approx 0{,}90196,
ou seja, cerca de 90{,}196\% do iceberg está submerso e 9{,}804\% está exposto. Isso faz sentido físico: gelo é menos denso que água salgada, então apenas uma pequena parte fica acima da superfície.
Força extra de ânimo: deu trabalho, mas agora você tem a receita — em provas, escreva a equação de Arquimedes, expresse o volume submerso como diferença e isole V_{\text{total}}. Você consegue!

Resposta

10{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{m}^3

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