1.4- Um anel de latão ( \alpha_{1}=18,9 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ) de 9,99 \mathrm{~cm} de diâmetro a 20,0^{\circ} \mathrm{C} é aquecido e então acoplado a um tubo de alumínio ( \alpha_{\mathrm{a}}= 23,0 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ) de 10,00 \mathrm{~cm} de diâmetro a 20,0^{\circ} \mathrm{C}.
Assumindo que os coeficientes de dilatação térmica são constantes, calcule a temperatura, em { }^{\circ} \mathrm{C}, à qual deve-se resfriar o sistema aneltubo para permitir a separação do anel e do tubo.
[Halliday; Resnick; Walker, 8 ed/ext, 19.12]

Passo 1

O enunciado pede a temperatura à qual o conjunto anel–tubo deve ser resfriado para permitir a separação do anel e do tubo. Dados fornecidos (todos medidos à temperatura inicial T_0=20,0^\circ\mathrm{C}):
  • Diâmetro inicial do anel de latão: \,D_{\ell,0}=9,99\\ \mathrm{cm}.
  • Coeficiente de dilatação linear do latão: \,\alpha_{\ell}=18{,}9\times10^{-6}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.
  • Diâmetro inicial do tubo de alumínio: \,D_{a,0}=10{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • Coeficiente de dilatação linear do alumínio: \,\alpha_{a}=23{,}0\times10^{-6}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.
O objetivo: encontrar a temperatura T (em ^\circ\mathrm{C}) tal que, ao resfriar o par anel–tubo até T, seja possível separar o anel do tubo.

Passo 2

Fórmula que descreve a variação linear de um comprimento (aqui aplicável ao diâmetro) com a temperatura, assumindo coeficiente constante:
L(T)=L_0\bigl[1+\alpha\,(T-T_0)\bigr].
Explicando cada símbolo:
  • L(T) é o comprimento na temperatura T.
  • L_0 é o comprimento à temperatura de referência T_0.
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (por grau Celsius).
  • (T-T_0) é a variação de temperatura (positiva se aquecimento, negativa se resfriamento).
Aqui usaremos essa fórmula para os diâmetros do anel e do tubo.

Passo 3

Escrevendo as expressões para os diâmetros à temperatura T:
D_{\ell}(T)=D_{\ell,0}\bigl[1+\alpha_{\ell}(T-T_0)\bigr], \qquad D_{a}(T)=D_{a,0}\bigl[1+\alpha_{a}(T-T_0)\bigr].
Onde T_0=20{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Condição para separação: o anel fica livre quando o diâmetro interno do anel for maior que o diâmetro externo do tubo, isto é
D_{\ell}(T) > D_{a}(T).
A menor temperatura necessária para começar a separação corresponde ao caso limite de igualdade:
D_{\ell}(T)=D_{a}(T).
Vamos resolver essa igualdade para T. (Se resfriarmos ainda mais do que esse T, a separação será possível com folga maior.)

Passo 5

Igualando as expressões:
D_{\ell,0}\bigl[1+\alpha_{\ell}(T-T_0)\bigr]=D_{a,0}\bigl[1+\alpha_{a}(T-T_0)\bigr].
Chamando \Delta T=T-T_0 e desenvolvendo:
D_{\ell,0}+D_{\ell,0}\alpha_{\ell}\Delta T = D_{a,0}+D_{a,0}\alpha_{a}\Delta T.
Reagrupando os termos com \Delta T:
\Delta T\bigl(D_{\ell,0}\alpha_{\ell}-D_{a,0}\alpha_{a}\bigr)=D_{a,0}-D_{\ell,0}.
Logo
\Delta T=\frac{D_{a,0}-D_{\ell,0}}{D_{\ell,0}\alpha_{\ell}-D_{a,0}\alpha_{a}}.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos (mantendo unidades em \mathrm{cm} e {}^{\circ}\mathrm{C}):
D_{a,0}-D_{\ell,0}=10{,}00-9{,}99=0{,}01\\ \mathrm{cm}.
Calcule o denominador:
D_{\ell,0}\alpha_{\ell}=9{,}99\times 18{,}9\times10^{-6}=188{,}811\times10^{-6},
D_{a,0}\alpha_{a}=10{,}00\times 23{,}0\times10^{-6}=230{,}0\times10^{-6}.
Portanto
D_{\ell,0}\alpha_{\ell}-D_{a,0}\alpha_{a}=(188{,}811-230{,}0)\times10^{-6}=-41{,}189\times10^{-6}=-4{,}1189\times10^{-5}.
Agora
\Delta T=\frac{0{,}01}{-4{,}1189\times10^{-5}}\approx -242{,}684\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 7

A temperatura final é
T=T_0+\Delta T=20{,}0^\circ\mathrm{C}+(-242{,}684^\circ\mathrm{C})\approx -222{,}7^\circ\mathrm{C}.
Interpretação física: o sinal negativo indica resfriamento (faz sentido). O valor obtido é muito baixo (aproximadamente -223^\circ\mathrm{C}), o que mostra que, com os coeficientes dados e as diferenças iniciais de diâmetro, seria necessário um resfriamento extremamente grande para que o tubo contraia mais que o anel de modo a permitir a separação.

Resposta

-222{,}7^\circ\mathrm{C}

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