1.4- Um anel de latão (
) de
de diâmetro a
é aquecido e então acoplado a um tubo de alumínio (
) de
de diâmetro a
.
Assumindo que os coeficientes de dilatação térmica são constantes, calcule a temperatura, em
, à qual deve-se resfriar o sistema aneltubo para permitir a separação do anel e do tubo.
[Halliday; Resnick; Walker, 8 ed/ext, 19.12]
Assumindo que os coeficientes de dilatação térmica são constantes, calcule a temperatura, em
[Halliday; Resnick; Walker, 8 ed/ext, 19.12]
Passo 1
O enunciado pede a temperatura à qual o conjunto anel–tubo deve ser resfriado para permitir a separação do anel e do tubo. Dados fornecidos (todos medidos à temperatura inicial
):
- Diâmetro inicial do anel de latão:
- Coeficiente de dilatação linear do latão:
- Diâmetro inicial do tubo de alumínio:
- Coeficiente de dilatação linear do alumínio:
O objetivo: encontrar a temperatura
(em
) tal que, ao resfriar o par anel–tubo até
, seja possível separar o anel do tubo.
Passo 2
Fórmula que descreve a variação linear de um comprimento (aqui aplicável ao diâmetro) com a temperatura, assumindo coeficiente constante:
Explicando cada símbolo:
-
é o comprimento na temperatura . -
é o comprimento à temperatura de referência . -
é o coeficiente de dilatação linear (por grau Celsius). -
é a variação de temperatura (positiva se aquecimento, negativa se resfriamento).
Aqui usaremos essa fórmula para os diâmetros do anel e do tubo.
Passo 3
Escrevendo as expressões para os diâmetros à temperatura
:
Onde
.
Passo 4
Condição para separação: o anel fica livre quando o diâmetro interno do anel for maior que o diâmetro externo do tubo, isto é
A menor temperatura necessária para começar a separação corresponde ao caso limite de igualdade:
Vamos resolver essa igualdade para
. (Se resfriarmos ainda mais do que esse
, a separação será possível com folga maior.)
Passo 5
Igualando as expressões:
Chamando
e desenvolvendo:
Reagrupando os termos com
:
Logo
Passo 6
Substituindo os valores numéricos (mantendo unidades em
e
):
Calcule o denominador:
Portanto
Agora
Passo 7
A temperatura final é
Interpretação física: o sinal negativo indica resfriamento (faz sentido). O valor obtido é muito baixo (aproximadamente
), o que mostra que, com os coeficientes dados e as diferenças iniciais de diâmetro, seria necessário um resfriamento extremamente grande para que o tubo contraia mais que o anel de modo a permitir a separação.