Um ponteiro de um relógio é uma barra fina e homogênea de massa M e comprimento \ell, que gira em torno de uma das suas extremidades. Em um dado instante, uma formiga, de massa m, encontra-se sobre a extremidade
livre do ponteiro. Neste instante, a velocidade angular de rotação do conjunto (ponteiro e formiga) é \omega_{0}. A formiga, então, caminha sobre o ponteiro do relógio até ficar a uma distância \ell / 2 do centro do relógio. A velocidade do conjunto passa a ser \omega_{f}. Quanto vale \omega_{f} ? Considere que a razão entre a massa m da formiga e a massa M do ponteiro vale \beta=m / M.
(a) \omega_{f}=\left(\frac{9 \beta}{1+3 \beta}\right) \omega_{0}
(b) \omega_{f}=2\left(\frac{1+3 \beta}{2+\beta}\right) \omega_{0}
(c) \omega_{f}=4\left(\frac{1+3 \beta}{4+3 \beta}\right) \omega_{0}
(d) \omega_{f}=4\left(\frac{1+\beta}{4+\beta}\right) \omega_{0}
(e) \omega_{f}=2\left(\frac{3 \beta}{2+3 \beta}\right) \omega_{0}

Passo 1

O enunciado descreve um sistema formado por um bastão fino e homogêneo de massa M e comprimento \ell, girando sem atrito em torno de uma das extremidades, e uma formiga de massa m que inicialmente está na outra extremidade ( r=\ell). Nesse instante a velocidade angular do conjunto é \omega_{0}. A formiga anda até ficar a r=\ell/2 do ponto de giro, alterando o momento de inércia e, por consequência, a velocidade angular para \omega_{f}. Vamos usar conservação do momento angular em torno do pivô e calcular os momentos de inércia antes e depois.

Passo 2

Antes do movimento da formiga, o momento de inércia do sistema é a soma do momento de inércia do bastão em torno da extremidade mais o da formiga tratada como partícula em r=\ell:
I_{i} =\underbrace{\tfrac{1}{3}M\ell^{2}}_{\text{bastão}} +\underbrace{m\,\ell^{2}}_{\text{formiga}} =\Bigl(\tfrac{1}{3}M + m\Bigr)\ell^{2}.ã

Passo 3

Depois que a formiga chega a r=\ell/2, o bastão continua com I_{\text{bastão}}=\tfrac{1}{3}M\ell^{2}ã e a formiga contribui com
I_{\text{formiga,f}} = m\Bigl(\tfrac{\ell}{2}\Bigr)^{2} = \tfrac{1}{4}\,m\,\ell^{2}.
Logo
I_{f} =\tfrac{1}{3}M\ell^{2} + \tfrac{1}{4}m\ell^{2} =\Bigl(\tfrac{1}{3}M + \tfrac{1}{4}m\Bigr)\ell^{2}.

Passo 4

Como não há torque externo em torno do pivô, o momento angular inicial L_{i}=I_{i}\,\omega_{0} se conserva:
I_{i}\,\omega_{0} =I_{f}\,\omega_{f} \quad\Longrightarrow\quad \omega_{f} =\frac{I_{i}}{I_{f}}\,\omega_{0}.

Passo 5

Para simplificar, defina \beta = \tfrac{m}{M}. Então
I_{i} = M\ell^{2}\Bigl(\tfrac{1}{3} + \beta\Bigr) = M\ell^{2}\,\frac{1+3\beta}{3}, \quad I_{f} = M\ell^{2}\Bigl(\tfrac{1}{3} + \tfrac{\beta}{4}\Bigr) = M\ell^{2}\,\frac{4+3\beta}{12}.
O quociente é
\frac{I_{i}}{I_{f}} =\frac{\tfrac{1+3\beta}{3}}{\tfrac{4+3\beta}{12}} =\frac{1+3\beta}{3}\times\frac{12}{4+3\beta} =\frac{4\,(1+3\beta)}{4+3\beta}.
Assim
\omega_{f} =4\,\frac{1+3\beta}{4+3\beta}\,\omega_{0}.

Resposta

(c) \displaystyle \omega_{f}=4\left(\frac{1+3\beta}{4+3\beta}\right)\omega_{0}

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