Um ponteiro de um relógio é uma barra fina e homogênea de massa M e comprimento \ell, que gira em torno de uma das suas extremidades. Em um dado instante, uma formiga, de massa m, encontra-se sobre a extremidade
livre do ponteiro. Neste instante, a velocidade angular de rotação do conjunto (ponteiro e formiga) é \omega_{0}. A formiga, então, caminha sobre o ponteiro do relógio até ficar a uma distância \ell / 2 do centro do relógio. A velocidade do conjunto passa a ser \omega_{f}. Quanto vale \omega_{f} ? Considere que a razão entre a massa m da formiga e a massa M do ponteiro vale \beta=m / M.
(a) \omega_{f}=\left(\frac{9 \beta}{1+3 \beta}\right) \omega_{0}
(b) \omega_{f}=2\left(\frac{1+3 \beta}{2+\beta}\right) \omega_{0}
(c) \omega_{f}=4\left(\frac{1+3 \beta}{4+3 \beta}\right) \omega_{0}
(d) \omega_{f}=4\left(\frac{1+\beta}{4+\beta}\right) \omega_{0}
(e) \omega_{f}=2\left(\frac{3 \beta}{2+3 \beta}\right) \omega_{0}
Passo 1
O enunciado descreve um sistema formado por um bastão fino e homogêneo de massa M e comprimento \ell, girando sem atrito em torno de uma das extremidades, e uma formiga de massa m que inicialmente está na outra extremidade (r=\ell). Nesse instante a velocidade angular do conjunto é \omega_{0}. A formiga anda até ficar a r=\ell/2 do ponto de giro, alterando o momento de inércia e, por consequência, a velocidade angular para \omega_{f}. Vamos usar conservação do momento angular em torno do pivô e calcular os momentos de inércia antes e depois.
Passo 2
Antes do movimento da formiga, o momento de inércia do sistema é a soma do momento de inércia do bastão em torno da extremidade mais o da formiga tratada como partícula em r=\ell: