(6,0 pontos) Um balão de ar quente está subindo em linha reta, com velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e se encontra 100 m acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. Desprezando os efeitos de resistência do ar, responda:
(a) Quanto tempo (em segundos) o pacote leva para atingir o solo?
(b) Com que velocidade o pacote atinge o solo?

Passo 1

O enunciado diz que um pacote é largado de um balão que sobe verticalmente com velocidade constante de 10,m/s, no instante em que o balão está a 100,m de altura. Desprezando resistência do ar, trata-se de queda livre com aceleração da gravidade para baixo. Vamos usar as equações do movimento uniformemente variado, tomando para cima o sentido positivo e para baixo o sentido negativo, e adotar g = 9,8,m/s ^2.

Passo 2

Escrevemos a posição vertical do pacote em função do tempo t, com y=0 no solo:
y(t) \;=\; y_0 \;+\; v_0\,t \;-\; \tfrac{1}{2}\,g\,t^2
onde y_0 = 100,m e v_0 = +10,m/s. Logo
y(t) = 100 \;+\; 10\,t \;-\; 4,9\,t^2.

Passo 3

Para achar o tempo de queda, impomos y(t)=0,
100 + 10\,t - 4,9\,t^2 = 0
que em forma padrão é
4,9\,t^2 - 10\,t - 100 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-10)^2 - 4\cdot 4,9 \cdot (-100) = 100 + 1960 = 2060.
Assim
t = \frac{10 \pm \sqrt{2060}}{2\cdot 4,9}.
A raiz positiva é
t = \frac{10 + \sqrt{2060}}{9,8} \approx \frac{10 + 45,387}{9,8} \approx 5,66\\ \text{s}.

Passo 4

A velocidade no instante do impacto é dada por
v(t) = v_0 - g\,t.
Substituindo t = 5,66,s, temos
v = 10 - 9,8 \times 5,66 \approx 10 - 55,47 \approx -45,47\\ \text{m/s}.
O sinal negativo indica que o movimento é para baixo; a rapidez (módulo) é 45,47,m/s.

Resposta

(a) 5,66 s
(b) 45,47 m/s (para baixo)

Exercícios relacionados