No ponto C(2,30^circ, 5) um vetor A é expresso em coordenadas cilíndricas, como sendo: A=20 arho-30 aphi+10 az. Determinar: (a) |A| no ponto C; (b) a distância da origem ao ponto C; © o ângulo entre A e a superfície rho=2 no ponto C.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão diz que no ponto C, cujas coordenadas cilíndricas são
C(rho=2,;phi=30^circ,;z=5),
temos um vetor
vec A ;=;20,vec arho;-;30,vec aphi;+;10,vec az
O conteúdo aqui é:
  • entender coordenadas cilíndricas e seus versores ( ),
  • saber achar magnitude de um vetor a partir de suas componentes,
  • distância de um ponto à origem em coordenadas cilíndricas,
  • e descobrir o ângulo entre um vetor e uma superfície (aqui a superfície ).
    Para isso vamos usar: norma de vetor, fórmula de distância e definição de ângulo entre vetor e superfície via normal.

Passo 2

Calcular a magnitude de |vec A| = raizArho^2 + Aphi^2 + Az^2 .
Em qualquer base ortonormal (e a base cilíndrica é ortonormal), a norma é
|vec A| = raiz20^2 + (-30)^2 + 10^2 = raiz400 + 900 + 100 = raiz1400 = 10raiz14approx 37,4
Aqui , e . Então

Passo 3

Calcular a distância da origem ao ponto d = raiz(rhocosphi)^2 + (rhosinphi)^2 + z^2 = raizrho^2 + z^2 .
Em coord. cilíndricas a distância de d = raiz2^2 + 5^2 = raiz4 + 25 = raiz29approx 5,4 até a origem é igual à distância no espaço cartesiano:
Aqui e , logo

Passo 4

Encontrar o ângulo entre cosalpha = vec Acdotvec arho|vec A|;|vec arho| = Arho|vec A| = 2010raiz14 = 2raiz14 approx 0,5345 ;;Longrightarrow;; alpha = arccos!l(0,5345r)approx 57,7^circ e a superfície beta = 90^circ - alpha approx 90^circ - 57,7^circ = 32,3^circ .
– A superfície é um cilindro de raio 2, e seu vetor normal é justamente .
– Primeiro achamos o ângulo entre e o normal por produto escalar:
– Mas a pergunta é o ângulo entre e a superfície, que é o complemento de :
Alternativamente, .

Resposta

(a)
(b)
©

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