No ponto
um vetor
é expresso em coordenadas cilíndricas, como sendo:
. Determinar: (a)
no ponto C; (b) a distância da origem ao ponto C; © o ângulo entre
e a superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão diz que no ponto C, cujas coordenadas cilíndricas são
temos um vetor
O conteúdo aqui é:
- entender coordenadas cilíndricas e seus versores (
), - saber achar magnitude de um vetor a partir de suas componentes,
- distância de um ponto à origem em coordenadas cilíndricas,
- e descobrir o ângulo entre um vetor e uma superfície (aqui a superfície
).
Para isso vamos usar: norma de vetor, fórmula de distância e definição de ângulo entre vetor e superfície via normal.
Passo 2
Calcular a magnitude de
.
Em qualquer base ortonormal (e a base cilíndrica é ortonormal), a norma é
Em qualquer base ortonormal (e a base cilíndrica é ortonormal), a norma é
Aqui
,
e
. Então
Passo 3
Calcular a distância da origem ao ponto
.
Em coord. cilíndricas a distância de até a origem é igual à distância no espaço cartesiano:
Em coord. cilíndricas a distância de
Aqui
e
, logo
Passo 4
Encontrar o ângulo entre
e a superfície
.
– A superfície é um cilindro de raio 2, e seu vetor normal é justamente
.
– Primeiro achamos o ângulo entre
e o normal
por produto escalar:
– A superfície
– Primeiro achamos o ângulo
– Mas a pergunta é o ângulo
entre
e a superfície, que é o complemento de
:
Alternativamente,
.
Resposta
(a)
(b)
©
(b)
©