Os três pontos A(-1,6,2), B(2,4,-3) B e C(4,1,-5) definem um triângulo e um plano. Sabendo-se que um triângulo é a metade de um paralelogramo, pede-se determinar: (a) a área do triângulo; (b) um vetor unitário normal ao plano.

Passo 1

O enunciado diz que temos os pontos
A(−1,6,2), B(2,4,−3) e C(4,1,−5), que formam um triângulo num plano do espaço.
Conteúdo: geometria vetorial (diferença de vetores, produto vetorial, norma de vetor) e área de triângulo via produto vetorial.

Passo 2

Primeiro a gente monta os vetores AB e AC, que são B–A e C–A.
Isso é só subtrair coordenada a coordenada:
AB=B-A=(2-(-1),;4-6,;-3-2)=(3,,-2,,-5),
AC=C-A=(4-(-1),;1-6,;-5-2)=(5,,-5,,-7)
Teoria rápida: a gente usa vetor “diferença” pra ter direção e sentido de um ponto pro outro.

Passo 3

Agora o produto vetorial ABtimesAC dá:
  1. um vetor perpendicular ao plano ABC,
  2. cujo comprimento é a área do paralelogramo gerado por AB e AC.
    Cálculo via determinante:
ABtimesAC= i&j&k 3&-2&-5 5&-5&-7 = l((-2)(-7)-(-5)(-5)r)i - l(3(-7)-(-5)5r)j + l(3(-5)-(-2)5r)k
$$= (-11),\mathbf{i} - (4),\mathbf{j} +(-5),\mathbf{k}
=(-11,,-4,,-5).$$

Passo 4

A área do paralelogramo vale |ABtimesAC|.
Primeiro computa-se a norma:
$$|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\sqrt{(-11)2+(-4)2+(-5)^2}
=\sqrt{121+16+25}=\sqrt{162}=9\sqrt2. |ABtimesAC|=raiz(-11)^2+(-4)^2+(-5)^2 =raiz121+16+25=raiz162=9raiz2âéãÁrea do triângulo=\tfrac12;9\sqrt2=\frac{9\sqrt2}{2}.$$

Passo 5

Um vetor unitário normal ao plano é o vetor normal dividido pelo seu módulo:
$$\hat n=\frac{\vec{AB}\times\vec{AC}}{|\vec{AB}\times\vec{AC}|}
=\frac{1}{9\sqrt2}(-11,,-4,,-5).$$
Se quiser o sentido oposto, basta trocar o sinal.

Resposta

(a) 9raiz22.
(b) Um vetor unitário normal é 19raiz2(-11,,-4,,-5),.

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