Os três pontos e definem um triângulo e um plano. Sabendo-se que um triângulo é a metade de um paralelogramo, pede-se determinar: (a) a área do triângulo; (b) um vetor unitário normal ao plano.
Passo 1
O enunciado diz que temos os pontos
A(−1,6,2), B(2,4,−3) e C(4,1,−5), que formam um triângulo num plano do espaço.
Conteúdo: geometria vetorial (diferença de vetores, produto vetorial, norma de vetor) e área de triângulo via produto vetorial.
Passo 2
Primeiro a gente monta os vetores AB e AC, que são B–A e C–A.
Isso é só subtrair coordenada a coordenada:
Teoria rápida: a gente usa vetor “diferença” pra ter direção e sentido de um ponto pro outro.
Passo 3
Agora o produto vetorial dá:
um vetor perpendicular ao plano ABC,
cujo comprimento é a área do paralelogramo gerado por AB e AC.
Cálculo via determinante:
=\sqrt{121+16+25}=\sqrt{162}=9\sqrt2.|ABtimesAC|=raiz(-11)^2+(-4)^2+(-5)^2 =raiz121+16+25=raiz162=9raiz2âéãÁrea do triângulo=\tfrac12;9\sqrt2=\frac{9\sqrt2}{2}.$$
Passo 5
Um vetor unitário normal ao plano é o vetor normal dividido pelo seu módulo: