Dados A=3 ax-4 ay+5 az e B=-ax+2 ay-3 az, determine: (a) A times B; (b) A cdot(A times B); © A times(A times B) ;(d) o ângulo entre A e B.

Passo 1

Beleza, então o exercício pede quatro coisas com vetores em 3D:
a) o produto vetorial vec Utimesvec V = l(UyVz - UzVyr),vec ax + l(UzVx - UxVzr),vec ay + l(UxVy - UyVxr),vec az ,
b) o produto escalar ,
c) o produto vetorial ,
d) o ângulo entre e .
Conteúdo: operações com vetores (produto escalar, vetorial, triplo escalar e ângulo). Vamos usar componentes e fórmulas básicas:
  • Produto escalar: .
  • Produto vetorial:
  • Normas: .
  • Ângulo: .

Passo 2

Calcular vec Atimesvec B = l((-4)(-3) - 5cdot2r),vec ax + l(5cdot(-1) - 3cdot(-3)r),vec ay + l(3cdot2 - (-4)(-1)r),vec az .
vec Atimesvec B = 2,vec ax + 4,vec ay + 2,vec az , .
Usando a fórmula:
Calculando:
  • Componente : .
  • Componente : .
  • Componente : .
    Logo

Passo 3

Calcular vec Acdotvec C = 3cdot2 + (-4)cdot4 + 5cdot2 = 6 -16 +10 = 0 .
Seja .
Produto escalar:
Isso faz sentido: é perpendicular a , então o escalar dá zero.

Passo 4

Calcular vec Atimesvec C = l((-4)cdot2 - 5cdot4r),vec ax + l(5cdot2 - 3cdot2r),vec ay + l(3cdot4 - (-4)cdot2r),vec az .
É vec Atimes(vec Atimesvec B) = -28,vec ax + 4,vec ay + 20,vec az com :
Calculando:
  • : .
  • : .
  • : .
    Então

Passo 5

Calcular o ângulo theta = arccos!l(-tfrac135raiz7r) entre e .


  1. Logo

Resposta

a)
b)
c)
d)

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