Ache uma base do complemento ortogonal espaço gerado por v1=(1,1,1,1), v2=(1,2,2,1), v3=(1,3,3,1), v4=(1,4,4,1).

Passo 1

O enunciado pede uma base de W^perp, onde W=spanv1,v2,v3,v4subsetR^4 com
v1=(1,1,1,1), v2=(1,2,2,1), v3=(1,3,3,1), v4=(1,4,4,1)
Para achar W^perp precisamos de todos os vetores x=(x1,x2,x3,x4) tais que xcdot vi=0 para i=1,2,3,4.

Passo 2

Observamos que
v2-v1=(0,1,1,0), v3-v2=(0,1,1,0), v4-v3=(0,1,1,0),
logo v3,v4 estão em spanv1,v2 e
W=spanv1,v2
Basta então impor
xcdot v1=0, xcdot v2=0

Passo 3

Escrevendo as condições de ortogonalidade, temos
xcdot v1=x1+x2+x3+x4=0,
xcdot v2=x1+2x2+2x3+x4=0
Subtraindo a primeira equação da segunda fica
(x1+2x2+2x3+x4)-(x1+x2+x3+x4)=0 Longrightarrow x2+x3=0

Passo 4

Da última igualdade segue x2=-x3. Usando isso em x1+x2+x3+x4=0 obtemos
x1+(-x3)+x3+x4=0 Longrightarrow x1=-x4
Logo podemos tomar como parâmetros
s = x3, t = x4,
e então
x=(x1,x2,x3,x4)=(-t,-s,s,t) = s,(0,-1,1,0) ;+; t,(-1,0,0,1)

Passo 5

Os vetores (0,-1,1,0) e (-1,0,0,1) são linearmente independentes e satisfazem as duas condições de ortogonalidade, portanto formam uma base de W^perp.

Resposta

(0,-1,1,0),,(-1,0,0,1)

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