( 2,0 ponto) Um bloco de
é conectado a uma mola e colocado sobre uma superfície horizontal lisa. É preciso aplicar uma força horizontal de
para manter o bloco em repouso quando ele é puxado
de sua posição de equilíbrio. O bloco é solto, com velocidade nula, a partir deste ponto. Encontre
(a) A constante de elasticidade da mola.
(b) A frequência das oscilações.
(c) A velocidade máxima do bloco.
(d) Onde ocorre a velocidade máxima?
(e) Encontre a aceleração máxima do bloco.
(f) Onde ocorre a aceleração da letra (e)?
(g) Calcule a energia total do sistema oscilante.
(a) A constante de elasticidade da mola.
(b) A frequência das oscilações.
(c) A velocidade máxima do bloco.
(d) Onde ocorre a velocidade máxima?
(e) Encontre a aceleração máxima do bloco.
(f) Onde ocorre a aceleração da letra (e)?
(g) Calcule a energia total do sistema oscilante.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede várias quantidades:
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Massa do bloco:
. - Força horizontal necessária para manter o bloco em repouso a
da posição de equilíbrio: . - Deslocamento inicial (amplitude, pois o bloco é solto a partir desse ponto):
.
Perguntas (o enunciado pede):
(a) Determinar a constante elástica da mola .
(b) Determinar a frequência das oscilações (frequência em Hz e, se útil, a pulsação
).
(c) Determinar a velocidade máxima do bloco .
(d) Indicar onde (em que posição) ocorre .
(e) Determinar a aceleração máxima do bloco .
(f) Indicar onde (em que posição) ocorre .
(g) Calcular a energia total do sistema oscilante .
(a) Determinar a constante elástica da mola
(b) Determinar a frequência das oscilações (frequência
(c) Determinar a velocidade máxima do bloco
(d) Indicar onde (em que posição) ocorre
(e) Determinar a aceleração máxima do bloco
(f) Indicar onde (em que posição) ocorre
(g) Calcular a energia total do sistema oscilante
Passo 2
(a) Cálculo da constante elástica
.
Teoria rápida (Hooke e equilíbrio): para uma mola ideal a força restauradora é dada por
, onde
é a constante elástica (unit:
) e
o deslocamento a partir da posição de equilíbrio (unidade:
). Se uma força externa horizontal
mantém o corpo em repouso em uma posição deslocada
, em equilíbrio temos a soma de forças nula e, portanto,
Isolando
:
Substituindo os valores dados (peguei
e
do enunciado):
Passo 3
(b) Frequência das oscilações.
Teoria de oscilador harmônico simples: para uma massa
ligada a uma mola de constante
, a equação do movimento é
, onde
é a pulsação angular. A relação entre
,
e
é
A frequência (ciclos por segundo) é
Agora calculo
com
e
(peguei esses números do passo anterior e do enunciado):
Agora a frequência:
(Se preferir o período,
.)
Passo 4
(c) Velocidade máxima
.
Duas maneiras equivalentes (vou explicar as duas, para escolher a que for mais conveniente na prova):
- Pela energia: na oscilação livre e sem atrito, a energia mecânica é conservada. A energia total
é soma da energia potencial elástica e da energia cinética . No instante de máxima velocidade toda a energia está cinética (porque aí e ):
Isolando
:
- Pela forma da solução do MHS:
, então e o máximo do módulo de é .
Usando
e
(peguei
do enunciado e
do passo anterior):
Passo 5
(d) Onde ocorre
?
Explicação conceitual curta e útil para prova: a velocidade é máxima onde a energia potencial elástica é mínima, ou seja, onde
(posição de equilíbrio). Na forma da solução
, o módulo é máximo quando
, o que corresponde a
. Portanto:
- A velocidade máxima ocorre quando o bloco passa pela posição de equilíbrio
.
Passo 6
(e) Aceleração máxima
.
Teoria: na MHS a aceleração é proporcional ao deslocamento e tem sinal oposto:
O módulo da aceleração é
. Assim o valor máximo do módulo da aceleração ocorre no maior valor absoluto de
, que é
, e vale
Usando
(peguei isso do cálculo de
):
Passo 7
(f) Onde ocorre
?
Explicação: como
, o módulo da aceleração é máximo quando
é máximo. Logo:
- A aceleração máxima em módulo ocorre nas posições de amplitude
(ou seja, nos extremos do movimento), e sua direção é sempre voltada para o ponto de equilíbrio (aceleração restauradora).
Passo 8
(g) Energia total do sistema oscilante
.
Teoria e cálculo: energia total (conservada) pode ser calculada no extremo (toda energia potencial) ou no equilíbrio (toda cinética). A expressão é
Usando
e
(peguei ambos do passo 2 e do enunciado):
Isso confirma, por exemplo, que em
a energia cinética máxima é
, consistente com conservação.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) ocorre em
(posição de equilíbrio)
(e)
(f) ocorre em
(nos extremos, direção para o equilíbrio)
(g)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)