( 2,0 ponto) Um bloco de 12,00 \mathrm{~kg} é conectado a uma mola e colocado sobre uma superfície horizontal lisa. É preciso aplicar uma força horizontal de 500,0 \mathrm{~N} para manter o bloco em repouso quando ele é puxado 0,5000 \mathrm{~m} de sua posição de equilíbrio. O bloco é solto, com velocidade nula, a partir deste ponto. Encontre
(a) A constante de elasticidade da mola.
(b) A frequência das oscilações.
(c) A velocidade máxima do bloco.
(d) Onde ocorre a velocidade máxima?
(e) Encontre a aceleração máxima do bloco.
(f) Onde ocorre a aceleração da letra (e)?
(g) Calcule a energia total do sistema oscilante.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede várias quantidades:
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Massa do bloco: m = 12{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • Força horizontal necessária para manter o bloco em repouso a 0{,}5000\\ \mathrm{m} da posição de equilíbrio: F = 500{,}0\\ \mathrm{N}.
  • Deslocamento inicial (amplitude, pois o bloco é solto a partir desse ponto): A = 0{,}5000\\ \mathrm{m}.
Perguntas (o enunciado pede):
(a) Determinar a constante elástica da mola k.
(b) Determinar a frequência das oscilações (frequência f em Hz e, se útil, a pulsação \omega).
(c) Determinar a velocidade máxima do bloco v_{\max}.
(d) Indicar onde (em que posição) ocorre v_{\max}.
(e) Determinar a aceleração máxima do bloco a_{\max}.
(f) Indicar onde (em que posição) ocorre a_{\max}.
(g) Calcular a energia total do sistema oscilante E.

Passo 2

(a) Cálculo da constante elástica k.
Teoria rápida (Hooke e equilíbrio): para uma mola ideal a força restauradora é dada por -kx, onde k é a constante elástica (unit: \mathrm{N/m}) e x o deslocamento a partir da posição de equilíbrio (unidade: \mathrm{m}). Se uma força externa horizontal F mantém o corpo em repouso em uma posição deslocada x, em equilíbrio temos a soma de forças nula e, portanto,
F = kx.
Isolando k:
k=\frac{F}{x}.
Substituindo os valores dados (peguei F e x do enunciado):
k=\frac{500{,}0}{0{,}5000} = 1000\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

(b) Frequência das oscilações.
Teoria de oscilador harmônico simples: para uma massa m ligada a uma mola de constante k, a equação do movimento é \ddot{x} + \omega^{2} x = 0, onde \omega é a pulsação angular. A relação entre \omega, k e m é
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
A frequência (ciclos por segundo) é
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Agora calculo \omega com k=1000\\ \mathrm{N/m} e m=12{,}00\\ \mathrm{kg} (peguei esses números do passo anterior e do enunciado):
\omega = \sqrt{\frac{1000}{12{,}00}} = \sqrt{83{,}333\ldots}=9{,}1287\\ \mathrm{rad/s}.
Agora a frequência:
f=\frac{9{,}1287}{2\pi}=1{,}4529\\ \mathrm{Hz}.
(Se preferir o período, T=1/f \approx 0{,}688\\ \mathrm{s}.)

Passo 4

(c) Velocidade máxima v_{\max}.
Duas maneiras equivalentes (vou explicar as duas, para escolher a que for mais conveniente na prova):
  1. Pela energia: na oscilação livre e sem atrito, a energia mecânica é conservada. A energia total E é soma da energia potencial elástica U=\tfrac{1}{2}k x^{2} e da energia cinética K=\tfrac{1}{2}mv^{2}. No instante de máxima velocidade toda a energia está cinética (porque aí x=0 e U=0):
E = \tfrac{1}{2}kA^{2} = \tfrac{1}{2} m v_{\max}^{2}.
Isolando v_{\max}:
v_{\max} = A\sqrt{\frac{k}{m}} = A\omega.
  1. Pela forma da solução do MHS: x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), então v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi) e o máximo do módulo de v é A\omega.
Usando A=0{,}5000\\ \mathrm{m} e \omega=9{,}1287\\ \mathrm{rad/s} (peguei A do enunciado e \omega do passo anterior):
v_{\max}=A\omega=0{,}5000\cdot 9{,}1287 = 4{,}5644\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

(d) Onde ocorre v_{\max}?
Explicação conceitual curta e útil para prova: a velocidade é máxima onde a energia potencial elástica é mínima, ou seja, onde x=0 (posição de equilíbrio). Na forma da solução v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi), o módulo é máximo quando \sin(\omega t+\varphi)=\pm1, o que corresponde a x(t)=0. Portanto:
  • A velocidade máxima ocorre quando o bloco passa pela posição de equilíbrio x=0.

Passo 6

(e) Aceleração máxima a_{\max}.
Teoria: na MHS a aceleração é proporcional ao deslocamento e tem sinal oposto:
a(t)=\ddot{x}(t)=-\omega^{2} x(t).
O módulo da aceleração é |a(t)|=\omega^{2}|x(t)|. Assim o valor máximo do módulo da aceleração ocorre no maior valor absoluto de |x|, que é A, e vale
a_{\max}=\omega^{2}A.
Usando \omega^{2}=\dfrac{k}{m}=83{,}333\ldots\\ \mathrm{s^{-2}} (peguei isso do cálculo de \omega):
a_{\max}=A\frac{k}{m}=0{,}5000\cdot 83{,}333\ldots = 41{,}6667\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

(f) Onde ocorre a_{\max}?
Explicação: como |a|=\omega^{2}|x|, o módulo da aceleração é máximo quando |x| é máximo. Logo:
  • A aceleração máxima em módulo ocorre nas posições de amplitude x=\pm A (ou seja, nos extremos do movimento), e sua direção é sempre voltada para o ponto de equilíbrio (aceleração restauradora).

Passo 8

(g) Energia total do sistema oscilante E.
Teoria e cálculo: energia total (conservada) pode ser calculada no extremo (toda energia potencial) ou no equilíbrio (toda cinética). A expressão é
E=\tfrac{1}{2}kA^{2}.
Usando k=1000\\ \mathrm{N/m} e A=0{,}5000\\ \mathrm{m} (peguei ambos do passo 2 e do enunciado):
E=\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot (0{,}5000)^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot 0{,}2500 = 125\\ \mathrm{J}.
Isso confirma, por exemplo, que em x=0 a energia cinética máxima é K_{\max}=\tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot12{,}00\cdot(4{,}5644)^{2}\approx125\\ \mathrm{J}, consistente com conservação.

Resposta

(a) k=1000\\ \mathrm{N/m}
(b) \omega=9{,}1287\\ \mathrm{rad/s},\quad f=1{,}4529\\ \mathrm{Hz}
(c) v_{\max}=4{,}5644\\ \mathrm{m/s}
(d) v_{\max} ocorre em x=0 (posição de equilíbrio)
(e) a_{\max}=41{,}6667\\ \mathrm{m/s^{2}}
(f) a_{\max} ocorre em x=\pm 0{,}5000\\ \mathrm{m} (nos extremos, direção para o equilíbrio)
(g) E=125\\ \mathrm{J}

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