(1,0 ponto) A água se move a uma velocidade de 8,0 m / s em um cano com uma seção reta de 6,0 cm^2. A água desce gradualmente 10 m enquanto a seção reta aumenta para 12,0 cm^2.
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Se a pressão antes de decida é 1,65 times 10^5 Pa, qual é a pressão depois de descida?

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento de água (densidade rho=1000\ kg/ m^3) em regime estacionário, sem atrito, descendo uma diferença de altura de 10\ m e mudando a área da seção de 6,0\ cm ^2 para 12,0\ cm ^2. Precisamos usar:
– Equação da continuidade, para achar a velocidade depois da descida;
– Equação de Bernoulli, para relacionar pressões antes e depois da descida.

Passo 2

Antes da descida temos velocidade
v1 = 8,0 m/s,
área
A1 = 6,0 cm^2 = 6,0 times 10^-4 m^2,
depois da descida a área é
A2 = 12,0 cm^2 = 1,20 times 10^-3 m^2
Pela continuidade A1 v1 = A2 v2, logo
v2 = v1,A1A2 = 8,0 times 6,0times10^-41,20times10^-3 = 8,0 times 6,012,0 = 4,0 m/s

Passo 3

Para a pressão usamos Bernoulli entre ponto 1 (antes) e ponto 2 (depois):
P1 + tfrac12,rho,v1^2 + rho,g,z1 = P2 + tfrac12,rho,v2^2 + rho,g,z2
Como a água desceu h = z1 - z2 = 10\ m, reescrevemos
P2 = P1 + tfrac12,rho,(v1^2 - v2^2) + rho,g,h

Passo 4

Substituindo rho=1000\ kg/ m^3, g=9,81\ m/ s^2, v1=8,0\ m/s, v2=4,0\ m/s, h=10\ m e P1 = 1,65times10^5\ Pa:
dinâmica
tfrac12,rho,(v1^2 - v2^2) = tfrac12 times 1000 times (8^2 - 4^2) = 0,5 times 1000 times 48 = 24,000 Pa,
hidrostática
rho,g,h = 1000 times 9,81 times 10 = 98,100 Pa
Portanto
P2 = 1,65times10^5 + 24,000 + 98,100 = 2,871times10^5 Pa

Resposta

(a) v2 = 4,0 m/s
(b) P2 approx 2,87times10^5 Pa

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