ponto
Apresente as três primeiras derivadas e determine a expressão da derivada
-ésima de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: apresentar as três primeiras derivadas e determinar a expressão da derivada
-ésima. Informações dadas:
- A função é
. - Precisamos calcular
, , e uma fórmula para (para inteiro positivo).
Nada mais é pedido.
Passo 2
Vamos simplificar a escrita usando uma substituição conveniente para aplicar a regra da cadeia com calma. Defina
Então podemos escrever
Também calculemos a derivada de
:
Aqui
significa que, ao aplicar a regra da cadeia, toda vez que derivarmos
multiplicaremos por
.
Passo 3
Relembrando a regra para derivar uma potência: se temos
com
constante, então
Aplicamos isso para
. Derivando
obtemos
Substituindo
e
,
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada. Partimos de
. Aplicando de novo a regra da potência com a cadeia:
Usando
temos
Agora multiplicamos os números:
. Logo
Passo 5
Terceira derivada: partimos de
. Derivando,
Usando
e
,
Calcule os coeficientes:
. Assim
Passo 6
Observando as três derivadas que já encontramos:
percebe-se um padrão nos coeficientes numéricos e no expoente da potência: o expoente vai diminuindo de 1 em 1 e o coeficiente envolve potências de
, fatoriais e sinais alternados.
Passo 7
Vamos formalizar o padrão e provar por indução que a fórmula geral é
Primeiro verificação da base
:
e a fórmula com
dá
, ok.
Passo indutivo: suponha a fórmula válida para um
qualquer:
Derivando ambos os lados para obter
:
Aplicando
com
e
,
Logo
Note que
, então o produto de sinais e fatores fica
e juntando
e
obtemos
Isto mostra que, se a fórmula vale para
, vale para
. Pelo princípio da indução matemática, a fórmula é verdadeira para todo
.
Passo 8
Resumo didático rápido do motivo do padrão (pra você levar pra prova): cada derivada aplica a regra da potência e a regra da cadeia. A aplicação da regra da potência traz um fator
no passo
e a regra da cadeia traz sempre um fator
. Multiplicando sucessivamente esses fatores obtemos um produto
e
multiplicado
vezes dá
. O expoente da potência diminui de 1 a cada derivação, indo de
para
.