(1,0 ponto ) Apresente as três primeiras derivadas e determine a expressão da derivada n-ésima de f(x)=(3 x-2)^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede duas coisas: apresentar as três primeiras derivadas e determinar a expressão da derivada n-ésima. Informações dadas:
  • A função é f(x)=(3x-2)^{-1}.
  • Precisamos calcular f'(x), f''(x), f^{(3)}(x) e uma fórmula para f^{(n)}(x) (para n inteiro positivo).
    Nada mais é pedido.

Passo 2

Vamos simplificar a escrita usando uma substituição conveniente para aplicar a regra da cadeia com calma. Defina
u(x)=3x-2.
Então podemos escrever
f(x)=u(x)^{-1}.
Também calculemos a derivada de u:
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x-2)=3.
Aqui u'(x)=3 significa que, ao aplicar a regra da cadeia, toda vez que derivarmos u^{-1} multiplicaremos por 3.

Passo 3

Relembrando a regra para derivar uma potência: se temos \varphi(x)=u(x)^r com r constante, então
\varphi'(x)=r\,u(x)^{\,r-1}\,u'(x).
Aplicamos isso para r=-1. Derivando f(x)=u(x)^{-1} obtemos
f'(x) = (-1)\,u(x)^{-2}\,u'(x).
Substituindo u(x)=3x-2 e u'(x)=3,
f'(x)=(-1)\cdot(3x-2)^{-2}\cdot 3 = -3(3x-2)^{-2}.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada. Partimos de f'(x)=-3\,(3x-2)^{-2}. Aplicando de novo a regra da potência com a cadeia:
f''(x) = -3 \cdot \frac{d}{dx}\big((3x-2)^{-2}\big).
Usando \frac{d}{dx}u^{-2}=(-2)u^{-3}u' temos
f''(x) = -3 \cdot (-2)\,(3x-2)^{-3}\cdot 3.
Agora multiplicamos os números: -3\cdot(-2)\cdot 3 = 18. Logo
f''(x)=18(3x-2)^{-3}.

Passo 5

Terceira derivada: partimos de f''(x)=18(3x-2)^{-3}. Derivando,
f^{(3)}(x)=18\cdot \frac{d}{dx}\big((3x-2)^{-3}\big).
Usando \frac{d}{dx}u^{-3}=(-3)u^{-4}u' e u'=3,
f^{(3)}(x)=18\cdot(-3)\,(3x-2)^{-4}\cdot 3.
Calcule os coeficientes: 18\cdot(-3)\cdot 3 = 18\cdot(-9) = -162. Assim
f^{(3)}(x)=-162(3x-2)^{-4}.

Passo 6

Observando as três derivadas que já encontramos:
\begin{aligned} f(x) &= (3x-2)^{-1},\\\ f'(x) &= -3\,(3x-2)^{-2},\\\ f''(x) &= 18\,(3x-2)^{-3},\\\ f^{(3)}(x) &= -162\,(3x-2)^{-4}, \end{aligned}
percebe-se um padrão nos coeficientes numéricos e no expoente da potência: o expoente vai diminuindo de 1 em 1 e o coeficiente envolve potências de 3, fatoriais e sinais alternados.

Passo 7

Vamos formalizar o padrão e provar por indução que a fórmula geral é
f^{(n)}(x)=(-1)^n\,n!\,3^n\,(3x-2)^{-1-n},\qquad n=0,1,2,\dots
Primeiro verificação da base n=0:
f^{(0)}(x)=f(x)=(3x-2)^{-1},
e a fórmula com n=0 (-1)^0 0! 3^0 (3x-2)^{-1-0} = 1\cdot1\cdot1\cdot(3x-2)^{-1}, ok.
Passo indutivo: suponha a fórmula válida para um n qualquer:
f^{(n)}(x)=(-1)^n n! 3^n (3x-2)^{-1-n}.
Derivando ambos os lados para obter f^{(n+1)}:
f^{(n+1)}(x)=(-1)^n n! 3^n \cdot \frac{d}{dx}\big((3x-2)^{-1-n}\big).
Aplicando \frac{d}{dx}u^{r}=r u^{r-1} u' com r=-1-n e u'=3,
\frac{d}{dx}\big((3x-2)^{-1-n}\big)=(-1-n)(3x-2)^{-2-n}\cdot 3.
Logo
f^{(n+1)}(x)=(-1)^n n! 3^n \cdot (-1-n)\cdot 3\,(3x-2)^{-2-n}.
Note que (-1-n)=-(n+1), então o produto de sinais e fatores fica
(-1)^n\cdot (-(n+1)) = (-1)^{n+1}(n+1),
e juntando n!(n+1)=(n+1)! e 3^n\cdot 3=3^{n+1} obtemos
f^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}(n+1)!\,3^{n+1}\,(3x-2)^{-1-(n+1)}.
Isto mostra que, se a fórmula vale para n, vale para n+1. Pelo princípio da indução matemática, a fórmula é verdadeira para todo n\ge 0.

Passo 8

Resumo didático rápido do motivo do padrão (pra você levar pra prova): cada derivada aplica a regra da potência e a regra da cadeia. A aplicação da regra da potência traz um fator (-1-n) no passo n\to n+1 e a regra da cadeia traz sempre um fator u'=3. Multiplicando sucessivamente esses fatores obtemos um produto (-1)\cdot(-2)\cdot\cdots\cdot(-n)=(-1)^n n! e 3 multiplicado n vezes dá 3^n. O expoente da potência diminui de 1 a cada derivação, indo de -1 para -1-n.

Resposta

f'(x)=-3(3x-2)^{-2}
f''(x)=18(3x-2)^{-3}
f^{(3)}(x)=-162(3x-2)^{-4}
\displaystyle f^{(n)}(x)=(-1)^n n!\,3^n\,(3x-2)^{-1-n}

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