( 1,5 ponto) Encontre y^{\prime} por derivação implícita, sabendo que x^{3} y^{5}+x^{4} sen y=e^{y^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{3}y^{5}+x^{4}\operatorname{sen} y = e^{y^{2}}
e pede para encontrar y' (ou seja, \dfrac{dy}{dx}) por derivação implícita. Informação importante: aqui y é função de x (não uma constante), e vou interpretar \operatorname{sen} y como a função seno \sin y. Não começo a resolver ainda — só identifiquei o que é dado e o que se pede.

Passo 2

Relembre duas regras que usaremos (mostro a fórmula e explico o que são as variáveis):
\text{(produto)}\quad (u\cdot v)' = u'\,v + u\,v',
onde u e v são funções de x, u' é \dfrac{du}{dx} e v' é \dfrac{dv}{dx}.
\text{(cadeia)}\quad (f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x),
isto é, ao derivar uma função composta calcula-se a derivada da externa avaliada na interna vezes a derivada da interna.

Passo 3

Também precisamos das derivadas básicas (explico cada uma):
  • Se u=u(x) então (\sin u)' = \cos(u)\cdot u' (a derivada do seno é cosseno vezes a derivada do argumento).
  • Se u=u(x) então (e^{u})' = e^{u}\cdot u' (a derivada do exponencial é ele mesmo vezes a derivada do argumento).
    Lembre que sempre que aparecer u=y devemos multiplicar por y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 4

Agora derivamos ambos os lados da equação em relação a x. Vou derivar termo a termo.
Derivada de \;x^{3}y^{5}\;: é produto com u(x)=x^{3} e v(x)=y^{5}.
u' = 3x^{2},\qquad v'=(y^{5})' = 5y^{4}\cdot y' \quad\text{(pela regra da cadeia, pois \(y\) depende de \(x\)).}
Aplicando o produto:
\big(x^{3}y^{5}\big)' = 3x^{2}y^{5} + x^{3}\cdot 5y^{4}y' = 3x^{2}y^{5} + 5x^{3}y^{4}y'.
Derivada de \;x^{4}\sin y\;: é produto com u(x)=x^{4} e v(x)=\sin y.
u' = 4x^{3},\qquad v'=(\sin y)'=\cos y\cdot y'.
Aplicando o produto:
\big(x^{4}\sin y\big)' = 4x^{3}\sin y + x^{4}\cos y\;y'.
Derivada do lado direito \;e^{y^{2}}\;: pela cadeia,
\big(e^{y^{2}}\big)' = e^{y^{2}}\cdot (y^{2})' = e^{y^{2}}\cdot 2y\;y' = 2y\,e^{y^{2}}\,y'.

Passo 5

Juntando todas as derivadas obtidas (derivada da soma é soma das derivadas):
3x^{2}y^{5} + 5x^{3}y^{4}y' + 4x^{3}\sin y + x^{4}\cos y\;y' = 2y\,e^{y^{2}}\,y'.
Agora isolamos os termos que contêm y' num lado e os que não contêm y' no outro lado. Subtraindo 2y\,e^{y^{2}}\,y' e também subtraindo 3x^{2}y^{5}+4x^{3}\sin y de ambos os lados:
5x^{3}y^{4}y' + x^{4}\cos y\;y' - 2y\,e^{y^{2}}\,y' = -\big(3x^{2}y^{5} + 4x^{3}\sin y\big).
Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\,\big(5x^{3}y^{4} + x^{4}\cos y - 2y\,e^{y^{2}}\big) = -\big(3x^{2}y^{5} + 4x^{3}\sin y\big).

Passo 6

Finalmente isolamos y' dividindo pelo fator entre parênteses (assumindo que esse fator não seja zero no ponto considerado):
y' = \frac{-\big(3x^{2}y^{5} + 4x^{3}\sin y\big)}{5x^{3}y^{4} + x^{4}\cos y - 2y\,e^{y^{2}}}.
Se quiser, pode retirar um fator comum x^{2} no numerador para simplificar visualmente, mas a forma acima já é boa e direta para uso em prova.

Resposta

y' = \frac{-3x^{2}y^{5} - 4x^{3}\sin y}{5x^{3}y^{4} + x^{4}\cos y - 2y\,e^{y^{2}}}

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