( 1,5 ponto) Encontre
por derivação implícita, sabendo que
sen
.
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para encontrar
(ou seja,
) por derivação implícita. Informação importante: aqui
é função de
(não uma constante), e vou interpretar
como a função seno
. Não começo a resolver ainda — só identifiquei o que é dado e o que se pede.
Passo 2
Relembre duas regras que usaremos (mostro a fórmula e explico o que são as variáveis):
onde
e
são funções de
,
é
e
é
.
isto é, ao derivar uma função composta calcula-se a derivada da externa avaliada na interna vezes a derivada da interna.
Passo 3
Também precisamos das derivadas básicas (explico cada uma):
- Se
então (a derivada do seno é cosseno vezes a derivada do argumento). - Se
então (a derivada do exponencial é ele mesmo vezes a derivada do argumento).
Lembre que sempre que aparecerdevemos multiplicar por .
Passo 4
Agora derivamos ambos os lados da equação em relação a
. Vou derivar termo a termo.
Derivada de
: é produto com
e
.
Aplicando o produto:
Derivada de
: é produto com
e
.
Aplicando o produto:
Derivada do lado direito
: pela cadeia,
Passo 5
Juntando todas as derivadas obtidas (derivada da soma é soma das derivadas):
Agora isolamos os termos que contêm
num lado e os que não contêm
no outro lado. Subtraindo
e também subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 6
Finalmente isolamos
dividindo pelo fator entre parênteses (assumindo que esse fator não seja zero no ponto considerado):
Se quiser, pode retirar um fator comum
no numerador para simplificar visualmente, mas a forma acima já é boa e direta para uso em prova.