Encontre o limite utilizando a regra de l’Hôpital.
ponto)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Nada mais foi dado. A expressão é do tipo onde tanto numerador quanto denominador tendem a zero quando
(isso será verificado no Passo 2).
Passo 2
Verificar a forma indeterminada ao substituir
.
Avalio o numerador:
Avalio o denominador:
Portanto a expressão assume a forma
, que é uma forma indeterminada. Quando há
e as funções são diferenciáveis em um vizinho do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), podemos usar a regra de L’Hôpital para calcular o limite (aplicável a formas
ou
). Vou aplicar essa regra.
Passo 3
Lembrete da regra de L’Hôpital (curtinho e didático):
Se e
e
e
são diferenciáveis em um intervalo perto de
(exceto possivelmente em
), então
Se
se o limite do lado direito existir (ou for
). Vou aplicar isso aqui. Antes de derivar, lembro as regras de derivação que vou usar:
- Derivada da função seno:
(regra da cadeia). - Derivada de
: usar com , ou usar identidade para simplificar depois. - Derivada de produto:
. - Derivadas hiperbólicas:
e .
Observação: vou trocar
por
e
por
nas fórmulas TeX para usar os comandos padrão.
Passo 4
Aplicar L’Hôpital pela primeira vez: derivo numerador e denominador.
Numerador
. Use
.
Aplicando a regra da cadeia e a regra do poder:
Aplicando a regra da cadeia e a regra do poder:
Como
, obtemos
Podemos também usar a identidade trigonométrica
para simplificar:
Denominador
. Aplicando a regra do produto:
Então, pelo L’Hôpital,
Passo 5
Verificar novamente a forma do novo quociente ao
.
Avalio o numerador:
Avalio o denominador:
Ainda temos
. Então podemos (e devemos) aplicar L’Hôpital uma segunda vez.
Passo 6
Aplicar L’Hôpital pela segunda vez: derivar numerador e denominador do quociente já obtido.
Numerador atual
.
Derivada:
Derivada:
Denominador atual
.
Derivada (produto em ):
Derivada (produto em
Agrupando termos:
Pela regra de L’Hôpital:
Passo 7
Agora avalio o limite substituindo
(já não é indeterminado, porque dá valor finito).
Avalio o numerador no ponto:
Avalio o denominador no ponto:
Logo o limite vale
Comentário didático rápido: outra maneira de ver o resultado (sem duas aplicações de L’Hôpital) é usar aproximações de pequenas razões:
e
quando
. Então
e
, daí o quociente tende a
. Mas como o enunciado pediu explicitamente L’Hôpital, fiz com derivadas passo a passo.