Encontre o limite utilizando a regra de l’Hôpital.
\left(1,0\right. ponto) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{2}(5 x)}{x \operatorname{senh} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}^{2}(5x)}{x\,\operatorname{senh}x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{expressão: }\frac{\operatorname{sen}^{2}(5x)}{x\,\operatorname{senh}x},\qquad\text{ponto de interesse: }x\to 0.ã
Nada mais foi dado. A expressão é do tipo onde tanto numerador quanto denominador tendem a zero quando x\to 0 (isso será verificado no Passo 2).

Passo 2

Verificar a forma indeterminada ao substituir x=0.
Avalio o numerador:
\operatorname{sen}^{2}(5\cdot 0)=\operatorname{sen}^{2}(0)=0.
Avalio o denominador:
0\cdot\operatorname{senh}(0)=0\cdot 0=0.
Portanto a expressão assume a forma 0/0, que é uma forma indeterminada. Quando há 0/0 e as funções são diferenciáveis em um vizinho do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), podemos usar a regra de L’Hôpital para calcular o limite (aplicável a formas 0/0 ou \infty/\infty). Vou aplicar essa regra.

Passo 3

Lembrete da regra de L’Hôpital (curtinho e didático):
Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 e f e g são diferenciáveis em um intervalo perto de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
se o limite do lado direito existir (ou for \pm\infty). Vou aplicar isso aqui. Antes de derivar, lembro as regras de derivação que vou usar:
  • Derivada da função seno: \frac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\,u' (regra da cadeia).
  • Derivada de \sin^2(u): usar \frac{d}{dx}[u^2]=2u\,u' com u=\sin(5x), ou usar identidade para simplificar depois.
  • Derivada de produto: \frac{d}{dx}[x\cdot h(x)]=1\cdot h(x)+x\cdot h'(x).
  • Derivadas hiperbólicas: \frac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x e \frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x.
Observação: vou trocar \operatorname{sen} por \sin e \operatorname{senh} por \operatorname{sinh} nas fórmulas TeX para usar os comandos padrão.

Passo 4

Aplicar L’Hôpital pela primeira vez: derivo numerador e denominador.
Numerador f(x)=\sin^{2}(5x). Use f(x)=(\sin(5x))^2.
Aplicando a regra da cadeia e a regra do poder:
f'(x)=2\sin(5x)\cdot\cos(5x)\cdot\frac{d}{dx}(5x).
Como \frac{d}{dx}(5x)=5, obtemos
f'(x)=2\sin(5x)\cos(5x)\cdot 5 =10\sin(5x)\cos(5x).
Podemos também usar a identidade trigonométrica 2\sin a\cos a=\sin(2a) para simplificar:
f'(x)=5\sin(10x).
Denominador g(x)=x\,\operatorname{sinh} x. Aplicando a regra do produto:
g'(x)=1\cdot\operatorname{sinh} x + x\cdot\operatorname{cosh} x =\operatorname{sinh} x + x\operatorname{cosh} x.
Então, pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{2}(5x)}{x\operatorname{sinh} x} = \lim_{x\to 0}\frac{10\sin(5x)\cos(5x)}{\operatorname{sinh} x + x\operatorname{cosh} x} = \lim_{x\to 0}\frac{5\sin(10x)}{\operatorname{sinh} x + x\operatorname{cosh} x}.

Passo 5

Verificar novamente a forma do novo quociente ao x\to 0.
Avalio o numerador:
5\sin(10\cdot 0)=5\sin(0)=0.
Avalio o denominador:
\operatorname{sinh} 0 + 0\cdot\operatorname{cosh} 0 = 0 + 0 = 0.
Ainda temos 0/0. Então podemos (e devemos) aplicar L’Hôpital uma segunda vez.

Passo 6

Aplicar L’Hôpital pela segunda vez: derivar numerador e denominador do quociente já obtido.
Numerador atual h(x)=5\sin(10x).
Derivada:
h'(x)=5\cdot\cos(10x)\cdot\frac{d}{dx}(10x)=5\cdot\cos(10x)\cdot 10 =50\cos(10x).
Denominador atual k(x)=\operatorname{sinh} x + x\operatorname{cosh} x.
Derivada (produto em x\operatorname{cosh} x):
k'(x)=\operatorname{cosh} x + \big(1\cdot\operatorname{cosh} x + x\cdot\operatorname{sinh} x\big).
Agrupando termos:
k'(x)=\operatorname{cosh} x + \operatorname{cosh} x + x\operatorname{sinh} x =2\operatorname{cosh} x + x\operatorname{sinh} x.
Pela regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to 0}\frac{5\sin(10x)}{\operatorname{sinh} x + x\operatorname{cosh} x} = \lim_{x\to 0}\frac{50\cos(10x)}{2\operatorname{cosh} x + x\operatorname{sinh} x}.

Passo 7

Agora avalio o limite substituindo x=0 (já não é indeterminado, porque dá valor finito).
Avalio o numerador no ponto:
50\cos(10\cdot 0)=50\cos(0)=50\cdot 1=50.
Avalio o denominador no ponto:
2\operatorname{cosh} 0 + 0\cdot\operatorname{sinh} 0 = 2\cdot 1 + 0 =2.
Logo o limite vale
\frac{50}{2}=25.
Comentário didático rápido: outra maneira de ver o resultado (sem duas aplicações de L’Hôpital) é usar aproximações de pequenas razões: \sin t\sim t e \operatorname{sinh} t\sim t quando t\to 0. Então \sin^2(5x)\sim(5x)^2 e x\operatorname{sinh} x\sim x\cdot x = x^2, daí o quociente tende a (5x)^2/x^2=25. Mas como o enunciado pediu explicitamente L’Hôpital, fiz com derivadas passo a passo.

Resposta

25

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