Considere a curva dada pela função f(x)=\frac{1}{2 x-3}.
(a) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Usando a definiçãó de derivada, calcule f^{\prime}(2).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto (2,1). Apresente-as no formato y=a x+b.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{2x-3} e pede duas coisas:
  1. (a) Calcular \displaystyle f'(2) usando a definição de derivada.
  2. (b) Encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto (2,1), apresentadas no formato \displaystyle y=ax+b.
Informações relevantes fornecidas: a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{2x-3} e o ponto (2,1) sobre a curva (verificável porque \displaystyle f(2)=1).

Passo 2

Definição de derivada (a ferramenta que vamos usar): para uma função \displaystyle f e um ponto \displaystyle a, a derivada em \displaystyle a é
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui \displaystyle h é o incremento pequeno em x. A ideia é calcular a taxa de variação média em torno de \displaystyle a e depois fazer \displaystyle h tender a zero para obter a taxa instantânea.

Passo 3

Primeiro calculemos \displaystyle f(2) para usar na definição:
f(2)=\frac{1}{2\cdot 2-3}=\frac{1}{4-3}=\frac{1}{1}=1.

Passo 4

Agora montamos o quociente incremental \displaystyle \frac{f(2+h)-f(2)}{h} e simplificamos passo a passo:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\displaystyle \frac{1}{2(2+h)-3}-1}{h}.
Calcule o denominador interno:
2(2+h)-3=4+2h-3=1+2h,
então
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\displaystyle \frac{1}{1+2h}-1}{h}.

Passo 5

Continuando a simplificação do numerador:
\frac{1}{1+2h}-1=\frac{1-(1+2h)}{1+2h}=\frac{-2h}{1+2h}.
Substituindo no quociente:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\displaystyle \frac{-2h}{1+2h}}{h}=\frac{-2h}{(1+2h)h}.
Agora cancelamos \displaystyle h (válido para \displaystyle h\neq 0, que é suficiente para calcular o limite):
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{-2}{1+2h}.

Passo 6

Aplicamos o limite quando \displaystyle h\to 0:
f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{-2}{1+2h}=\frac{-2}{1+0}=-2.
Portanto a derivada no ponto \displaystyle x=2 é \displaystyle -2.

Passo 7

Agora vamos à reta tangente. Fórmula ponto-dependente da reta tangente em x=a:
y=f'(a)(x-a)+f(a),
onde \displaystyle f'(a) é a inclinação (coeficiente angular) e \displaystyle (a,f(a)) é o ponto de tangência. Aqui \displaystyle a=2, \displaystyle f'(2)=-2 e \displaystyle f(2)=1.

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula da tangente:
y=-2(x-2)+1.
Expandindo para ficar no formato \displaystyle y=ax+b:
y=-2x+4+1=-2x+5.
Assim a reta tangente é \displaystyle y=-2x+5.

Passo 9

A reta normal à curva em um ponto é a reta que é perpendicular à tangente nesse ponto. Se a inclinação da tangente é \displaystyle m_t, a inclinação da normal é o negativo do recíproco:
m_n=-\frac{1}{m_t}.
Aqui \displaystyle m_t=-2, logo
m_n=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}.

Passo 10

Usamos a forma ponto-declive para a normal passando por (2,1):
y-1=\frac{1}{2}(x-2).
Colocando no formato \displaystyle y=ax+b:
y=\frac{1}{2}x-1+1=\frac{1}{2}x.
Portanto a reta normal é \displaystyle y=\frac{1}{2}x.

Resposta

\displaystyle f'(2)=-2
\displaystyle\text{Tangente: }y=-2x+5
\displaystyle\text{Normal: }y=\tfrac{1}{2}x

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