Considere a curva dada pela função
.
(a) (
ponto) Usando a definiçãó de derivada, calcule
.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto
. Apresente-as no formato
.
(a) (
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Calcular
usando a definição de derivada. - (b) Encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto
, apresentadas no formato .
Informações relevantes fornecidas: a função
e o ponto
sobre a curva (verificável porque
).
Passo 2
Definição de derivada (a ferramenta que vamos usar): para uma função
e um ponto
, a derivada em
é
Aqui
é o incremento pequeno em
. A ideia é calcular a taxa de variação média em torno de
e depois fazer
tender a zero para obter a taxa instantânea.
Passo 3
Primeiro calculemos
para usar na definição:
Passo 4
Agora montamos o quociente incremental
e simplificamos passo a passo:
Calcule o denominador interno:
então
Passo 5
Continuando a simplificação do numerador:
Substituindo no quociente:
Agora cancelamos
(válido para
, que é suficiente para calcular o limite):
Passo 6
Aplicamos o limite quando
:
Portanto a derivada no ponto
é
.
Passo 7
Agora vamos à reta tangente. Fórmula ponto-dependente da reta tangente em
:
onde
é a inclinação (coeficiente angular) e
é o ponto de tangência. Aqui
,
e
.
Passo 8
Substituindo os valores na fórmula da tangente:
Expandindo para ficar no formato
:
Assim a reta tangente é
.
Passo 9
A reta normal à curva em um ponto é a reta que é perpendicular à tangente nesse ponto. Se a inclinação da tangente é
, a inclinação da normal é o negativo do recíproco:
Aqui
, logo
Passo 10
Usamos a forma ponto-declive para a normal passando por
:
Colocando no formato
:
Portanto a reta normal é
.