(2 pontos) Calcule \int_{C} x y d x+(x-y) d y, onde C consiste no segmento de reta (0,0) a (2,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x\,y\,dx + (x - y)\,dy
ao longo do segmento de reta que vai de (0,0) a (2,0).
Aqui o conteúdo é integral de linha do tipo \int_C P\,dx + Q\,dy. Vamos usar a definição paramétrica
\int_C P\,dx + Q\,dy = \int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t) = t,\quad y(t) = 0,\quad t\in[0,2].
Então
dx = x'(t)\,dt = dt,\quad dy = y'(t)\,dt = 0.

Passo 3

As funções P e Q são
P(x,y) = x\,y,\quad Q(x,y) = x - y.
Substituindo na fórmula paramétrica, obtemos
P(x(t),y(t)) = t\cdot 0 = 0, \quad Q(x(t),y(t)) = t - 0 = t,
logo o integrando fica
0\cdot x'(t) + t\cdot y'(t) = 0\cdot 1 + t\cdot 0 = 0.

Passo 4

A integral então é
\int_{0}^{2} 0\,dt = 0.

Resposta

0

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