Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
:
(a)
(b)
(c)
(d)
Marcar apenas uma oval.
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
(a)
(b)
(c)
(d)
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Informações dadas:
- Função:
. - Ponto onde queremos a tangente:
. - Alternativas (apenas uma correta):
- (a)
- (b)
- (c)
- (a)
Passo 2
Entendendo o que é preciso: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente no ponto é dada pela derivada da função naquele ponto. Notação e regras básicas que vamos usar:
- A derivada
representa a taxa de variação instantânea de e, geometricamente, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de em cada . - Regras de derivação usadas aqui:
- Regra do poder: a derivada de
é . - Derivada de soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- Derivada de constante é
.
- Regra do poder: a derivada de
Passo 3
Calcular a derivada
termo a termo aplicando a regra do poder:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Avaliar a derivada no ponto
para obter a inclinação
:
Logo a inclinação da tangente é
.
Passo 5
Usar a fórmula da reta no ponto-pendente (point-slope):
, com
e
:
Simplificando:
Reescrevendo na forma
:
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas:
- A alternativa (a) é
, que coincide com o que encontramos. - (b) e (c) são diferentes.
Resposta
(a)