Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função p(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-4 no ponto (1,-2) :
(a) 4 x-y-6=0
(b) y=4 x-4
(c) 4 x+y+4=0
(d) 4 x^{3}-6 x^{2}+6 x
Marcar apenas uma oval.
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função p(x)=x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-4 no ponto (1,-2). Informações dadas:
  • Função: p(x)=x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-4.
  • Ponto onde queremos a tangente: (1,-2).
  • Alternativas (apenas uma correta):
    • (a) 4x-y-6=0
    • (b) y=4x-4
    • (c) 4x+y+4=0

Passo 2

Entendendo o que é preciso: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente no ponto é dada pela derivada da função naquele ponto. Notação e regras básicas que vamos usar:
  • A derivada p'(x) representa a taxa de variação instantânea de p e, geometricamente, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de p em cada x.
  • Regras de derivação usadas aqui:
    • Regra do poder: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
    • Derivada de soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
    • Derivada de constante é 0.

Passo 3

Calcular a derivada p'(x) termo a termo aplicando a regra do poder:
  • Derivada de x^{4} é 4x^{3}.
  • Derivada de -2x^{3} é -2\cdot 3x^{2}=-6x^{2}.
  • Derivada de 3x^{2} é 3\cdot 2x=6x.
  • Derivada de -4 é 0.
Portanto
p'(x)=4x^{3}-6x^{2}+6x.

Passo 4

Avaliar a derivada no ponto x=1 para obter a inclinação m:
p'(1)=4\cdot1^{3}-6\cdot1^{2}+6\cdot1=4-6+6=4.
Logo a inclinação da tangente é m=4.

Passo 5

Usar a fórmula da reta no ponto-pendente (point-slope): y-y_{0}=m(x-x_{0}), com (x_{0},y_{0})=(1,-2) e m=4:
y-(-2)=4(x-1).
Simplificando:
y+2=4x-4 \quad\Rightarrow\quad y=4x-6.
Reescrevendo na forma Ax+By+C=0:
4x-y-6=0.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas:
  • A alternativa (a) é 4x-y-6=0, que coincide com o que encontramos.
  • (b) e (c) são diferentes.

Resposta

(a)

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