Uma força tem componentes \vec{F}_{x}=-180 \mathrm{~N} e \vec{F}_{y}=240 \mathrm{~N}. Determine:
a) o módulo da força;
b) o ângulo medido a partir do eixo x positivo.

Passo 1

O enunciado dá as componentes da força e pede duas coisas:
  • Componente no eixo x: \vec{F}_{x}=-180\\ \mathrm{N}.
  • Componente no eixo y: \vec{F}_{y}=240\\ \mathrm{N}.
As perguntas são:
(a) determinar o módulo da força;
(b) determinar o ângulo medido a partir do eixo x positivo (ou seja, o ângulo \theta que o vetor faz com o eixo x, medido no sentido anti-horário).

Passo 2

Para achar o módulo usamos que um vetor com componentes \vec{F}_{x} e \vec{F}_{y} tem módulo dado pelo teorema de Pitágoras:
F=\sqrt{\vec{F}_{x}^{2}+\vec{F}_{y}^{2}}.
Substituindo os valores:
F=\sqrt{(-180)^{2}+240^{2}}.
Calculemos as potências e some:
(-180)^{2}=180^{2}=32400,\qquad 240^{2}=57600,
32400+57600=90000,
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F=\sqrt{90000}.
Repare que 180 e 240 são múltiplos de 3 e 4: divide-se por 60 para ver a proporção 180/60=3 e 240/60=4. Isso corresponde ao triângulo 3\!-\!4\!-\!5, cuja hipotenusa é 5. Assim a hipotenusa aqui é 5\times60=300. Portanto
F=300\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Agora vamos achar o ângulo \theta medido a partir do eixo x positivo. Primeiro identifico o quadrante do vetor a partir dos sinais das componentes:
  • \vec{F}_{x}=-180 (negativo) e \vec{F}_{y}=240 (positivo) ⇒ vetor está no segundo quadrante (entre 90^\circ e 180^\circ).
Isso importa porque a função arco-tangente dá um ângulo referência; depois é preciso ajustar para o quadrante correto.

Passo 4

A tangente do ângulo (referência) é o módulo da razão entre as componentes:
\tan(\alpha)=\frac{|\vec{F}_{y}|}{|\vec{F}_{x}|}=\frac{240}{180}=\frac{4}{3}.
Como \frac{4}{3} é exatamente a tangente do ângulo complementar do triângulo 3\!-\!4\!-\!5, sabemos pela trigonometria básica que
\alpha=\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right)\approx53{,}13^\circ.
(sem calculadora: reconhecer a razão 3:4:5 dá imediatamente os ângulos aproximados 36{,}87^\circ e 53{,}13^\circ.)

Passo 5

Como o vetor está no segundo quadrante, o ângulo medido a partir do eixo x positivo é
\theta=180^\circ-\alpha.
Substituindo:
\theta=180^\circ-53{,}13^\circ=126{,}87^\circ.

Resposta

(a) 300\\ \mathrm{N}
(b) 126{,}87^\circ

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