O que o exercício pede: calcular \lim_{x\to 2^{-}} f(x) (limite à esquerda, quando x se aproxima de 2 por valores menores que 2) e \lim_{x\to 2^{+}} f(x) (limite à direita, quando x se aproxima de 2 por valores maiores que 2).
As informações relevantes são as três expressões da função em cada intervalo indicado pela condição sobre x.]
Passo 2
Vamos lembrar o conceito de limite lateral de forma simples e prática.
\lim_{x\to 2^{-}} f(x) significa: olhar apenas os valores de f(x) definidos para x<2 e ver o valor a que f(x) se aproxima quando x se aproxima de 2 vindo da esquerda.
\lim_{x\to 2^{+}} f(x) significa: olhar apenas os valores de f(x) definidos para x>2 e ver o valor a que f(x) se aproxima quando x se aproxima de 2 vindo da direita.
Regra útil (muito usada em provas): se a expressão que define f numa vizinhança (à esquerda ou à direita) de 2 é um polinômio ou função linear, essas funções são contínuas, então o limite lateral é obtido simplesmente substituindo x=2 nessa expressão.
Passo 3
Calcular \lim_{x\to 2^{-}} f(x).
Para x<2 a função vale f(x)=x^{2}+1. Como x^{2}+1 é um polinômio (função contínua), podemos substituir x=2 para obter o limite à esquerda:
Calcular \lim_{x\to 2^{+}} f(x).
Para x>2 a função vale f(x)=3x-1. Como 3x-1 é uma função linear (contínua), substituímos x=2 para obter o limite à direita:
Comparando os dois limites laterais: ambos deram 5. Quando \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} f(x), o limite bilateral \lim_{x\to 2} f(x) existe e é igual a esse valor comum. Aqui temos também que f(2)=5 (dado no enunciado), então a função é contínua em x=2. Mas o pedido era só os limites laterais, que já calculamos.