(1 ponto)
(0.5) Para f(x)= \begin{cases}x^{2}+1 & \text { se } x<2 \\\\ 5 & \text { se } x=2, \text { calcule } \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x) \text { e } \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x) \text {. } \\\\ 3 x-1 & \text { se } x>2\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes:
f(x)= \begin{cases} x^{2}+1 & \text{se } x<2,\\[4pt] 5 & \text{se } x=2,\\[4pt] 3x-1 & \text{se } x>2.
O que o exercício pede: calcular \lim_{x\to 2^{-}} f(x) (limite à esquerda, quando x se aproxima de 2 por valores menores que 2) e \lim_{x\to 2^{+}} f(x) (limite à direita, quando x se aproxima de 2 por valores maiores que 2).
As informações relevantes são as três expressões da função em cada intervalo indicado pela condição sobre x.]

Passo 2

Vamos lembrar o conceito de limite lateral de forma simples e prática.
  • \lim_{x\to 2^{-}} f(x) significa: olhar apenas os valores de f(x) definidos para x<2 e ver o valor a que f(x) se aproxima quando x se aproxima de 2 vindo da esquerda.
  • \lim_{x\to 2^{+}} f(x) significa: olhar apenas os valores de f(x) definidos para x>2 e ver o valor a que f(x) se aproxima quando x se aproxima de 2 vindo da direita.
    Regra útil (muito usada em provas): se a expressão que define f numa vizinhança (à esquerda ou à direita) de 2 é um polinômio ou função linear, essas funções são contínuas, então o limite lateral é obtido simplesmente substituindo x=2 nessa expressão.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to 2^{-}} f(x).
Para x<2 a função vale f(x)=x^{2}+1. Como x^{2}+1 é um polinômio (função contínua), podemos substituir x=2 para obter o limite à esquerda:
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{-}} (x^{2}+1)=2^{2}+1=4+1=5.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 2^{+}} f(x).
Para x>2 a função vale f(x)=3x-1. Como 3x-1 é uma função linear (contínua), substituímos x=2 para obter o limite à direita:
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} (3x-1)=3\cdot 2-1=6-1=5.

Passo 5

Comparando os dois limites laterais: ambos deram 5. Quando \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} f(x), o limite bilateral \lim_{x\to 2} f(x) existe e é igual a esse valor comum. Aqui temos também que f(2)=5 (dado no enunciado), então a função é contínua em x=2. Mas o pedido era só os limites laterais, que já calculamos.

Resposta

\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=5
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=5

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