(1 ponto)
(0.5) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}-2 x+1}{5 x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende ao infinito:
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}-2x+1}{5x^{2}+4}.
Informações dadas que são relevantes:
  • O numerador é o polinômio 3x^{2}-2x+1.
  • O denominador é o polinômio 5x^{2}+4.
  • A variável x tende para +\infty.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Ideia básica (apenas a ideia, a conta vem a seguir): quando temos uma fração de polinômios e x\to\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. Para operar de forma rigorosa, dividimos numerador e denominador pelo maior poder de x que aparece (aqui x^{2}).

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por x^{2}. Faço isso escrevendo cada termo dividido por x^{2}:
\frac{3x^{2}-2x+1}{5x^{2}+4} = \frac{\dfrac{3x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{2x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{5x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{4}{x^{2}}} = \frac{3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{5+\dfrac{4}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora usamos propriedades simples de limites e o fato de que potências positivas de x no denominador tendem a infinito: para qualquer p>0 vale
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{p}}=0.
Explicação curta e intuitiva: conforme x cresce muito, x^{p} cresce muito também, então \dfrac{1}{x^{p}} fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Aplicando isso aos termos presentes:
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{4}{x^{2}}=0.

Passo 5

Tomando limite na expressão do Passo 3 termo a termo (isso é permitido pelas regras de limite, já que o denominador tende a 5\neq0), obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{5+\dfrac{4}{x^{2}}} =\frac{3-0+0}{5+0}=\frac{3}{5}.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova: quando graus do numerador e do denominador são iguais, o limite quando x\to\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 3 e 5), por isso \dfrac{3}{5}. Guarde essa regra — ela economiza tempo.

Resposta

\dfrac{3}{5}

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