(1 ponto)
(0.5)
(0.5)
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende ao infinito:
Informações dadas que são relevantes:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A variável
tende para .
A pergunta é: qual é o valor desse limite?
Passo 2
Ideia básica (apenas a ideia, a conta vem a seguir): quando temos uma fração de polinômios e
, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. Para operar de forma rigorosa, dividimos numerador e denominador pelo maior poder de
que aparece (aqui
).
Passo 3
Dividimos numerador e denominador por
. Faço isso escrevendo cada termo dividido por
:
Passo 4
Agora usamos propriedades simples de limites e o fato de que potências positivas de
no denominador tendem a infinito: para qualquer
vale
Explicação curta e intuitiva: conforme
cresce muito,
cresce muito também, então
fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Aplicando isso aos termos presentes:
Passo 5
Tomando limite na expressão do Passo 3 termo a termo (isso é permitido pelas regras de limite, já que o denominador tende a
), obtemos
Passo 6
Interpretação final e dica para prova: quando graus do numerador e do denominador são iguais, o limite quando
é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
e
), por isso
. Guarde essa regra — ela economiza tempo.