Sejam A, B in M3 times 3(R). Se A e B são não nulas e tais que AB é a matriz nula, então det A=det B=0.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes reais 3×3 não nulas tais que AB é a matriz nula. O conteúdo aqui é determinante e invertibilidade de matrizes: vamos usar que uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que det A neq 0. Então A é invertível e existe A^-1. Multiplicando AB=0 à esquerda por A^-1, obtemos
A^-1(AB) = A^-10 implies (A^-1A)B = 0 implies I B = 0 implies B = 0,
o que contraria o fato de B ser não nula. Logo, nossa suposição foi falsa e deve valer det A = 0.

Passo 3

De modo análogo, suponha que det B neq 0. Então B é invertível e existe B^-1. Multiplicando AB=0 à direita por B^-1, temos
(AB)B^-1 = 0,B^-1 implies A(BB^-1) = 0 implies AI = 0 implies A = 0,
o que contraria o fato de A ser não nula. Logo, deve valer também det B = 0.

Resposta

det A = 0 e det B = 0.

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