Sejam
. Se
e
são não nulas e tais que
é a matriz nula, então
.
Passo 1
O enunciado diz que A e B são matrizes reais 3×3 não nulas tais que AB é a matriz nula. O conteúdo aqui é determinante e invertibilidade de matrizes: vamos usar que uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
. Então A é invertível e existe
. Multiplicando
à esquerda por
, obtemos
o que contraria o fato de B ser não nula. Logo, nossa suposição foi falsa e deve valer
.
Passo 3
De modo análogo, suponha que
. Então B é invertível e existe
. Multiplicando
à direita por
, temos
o que contraria o fato de A ser não nula. Logo, deve valer também
.