Resolva a equação de Laplace para determinar o potencial no quadrado
cujo lado superior é mantido no potencial de sen
, estando os outros lados aterrados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Laplace \
num quadrado
, com as condições de contorno:
-
, 2) , 3) , 4) . O método que a gente vai usar é Separação de Variáveis. Para isso, a gente precisará saber resolver EDOs do tipo senoidais e exponenciais hiperbólicas, e usar a ortogonalidade de senos para determinar coeficientes.
Passo 2
A ideia de Separação de Variáveis é supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo de uma só coordenada:
\
\
Substituindo em
e dividindo por
a gente obtém duas EDOs acopladas via uma constante auxiliar
:
\
\
Passo 3
Para resolver a EDO em
, impomos
e
(lados aterrados). Isso define valores próprios
e autofunções:
\
\
Passo 4
A EDO em
fica
\
\
e a condição
implica
. A solução geral que satisfaz isso é
\
\
Passo 5
Assim, a solução geral da PDE é dada por série:
\
\
Para determinar
, usamos a condição no contorno superior:
\
\
Passo 6
Como as funções
são ortogonais em
, os coeficientes são
\
\
E avaliando a integral, só
dá diferente de zero, com
e
.
Passo 7
Portanto apenas o termo
sobrevive, e a solução final é
\
\
Resposta
$