Resolva a equação de Laplace para determinar o potencial no quadrado 0 <= x <= 2,0 <= y <= 2 cujo lado superior é mantido no potencial de sen 0,5 pi x, estando os outros lados aterrados.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace \ nabla^2 V=0 num quadrado 0<= x<=2,;0<= y<=2, com as condições de contorno:
  1. V(x,0)=0, 2) V(0,y)=0, 3) V(2,y)=0, 4) V(x,2)=sinl(tfracpi x2r). O método que a gente vai usar é Separação de Variáveis. Para isso, a gente precisará saber resolver EDOs do tipo senoidais e exponenciais hiperbólicas, e usar a ortogonalidade de senos para determinar coeficientes.

Passo 2

A ideia de Separação de Variáveis é supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo de uma só coordenada:
\
V(x,y)=X(x),Y(y)
Substituindo em nabla^2V=0 e dividindo por X(x)Y(y) a gente obtém duas EDOs acopladas via uma constante auxiliar lambda:
\
X''(x)X(x)+Y''(y)Y(y)=0 Longrightarrow X''(x)+lambda,X(x)=0, Y''(y)-lambda,Y(y)=0

Passo 3

Para resolver a EDO em x, impomos X(0)=0 e X(2)=0 (lados aterrados). Isso define valores próprios lambdan e autofunções:
\
lambdan=l(tfracnpi2r)^2, Xn(x)=sinl(tfracnpi x2r), n=1,2,3,dots

Passo 4

A EDO em y fica
\
Yn''(y)-l(tfracnpi2r)^2Yn(y)=0,
e a condição V(x,0)=0 implica Yn(0)=0. A solução geral que satisfaz isso é
\
Yn(y)=Ansinhl(tfracnpi y2r)

Passo 5

Assim, a solução geral da PDE é dada por série:
\
V(x,y)=sumn=1^infty Ansinl(tfracnpi x2r)sinhl(tfracnpi y2r)
Para determinar An, usamos a condição no contorno superior:
\
V(x,2)=sumn=1^infty Ansinh(npi)sinl(tfracnpi x2r)=sinl(tfracpi x2r)

Passo 6

Como as funções sinl(tfracnpi x2r) são ortogonais em [0,2], os coeficientes são
\
An=22sinh(npi)integral0^2sinl(tfracpi x2r)sinl(tfracnpi x2r)dx =1sinh(npi),bn
E avaliando a integral, só n=1 dá diferente de zero, com b1=1 e bn>=2=0.

Passo 7

Portanto apenas o termo n=1 sobrevive, e a solução final é
\
V(x,y)=sinl(tfracpi x2r)sinhl(tfracpi y2r)sinh(pi)

Resposta

$ V(x,y)=sinl(tfracpi x2r)sinhl(tfracpi y2r)sinh(pi)

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