(1 ponto) Calcule (1+raiz3 i)^2022.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular . Esse problema envolve números complexos e o conceito de potenciação de números complexos. Para resolver, vamos precisar transformar o número complexo para a forma polar e aplicar a Fórmula de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o número complexo r = raiz1^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = 2 para a forma polar. Na forma polar, um número complexo é representado por theta = arctan(raiz31) = pi3 , onde:
  • 1 + raiz3i = 2(cos pi3 + i sin pi3) é o módulo do número complexo, calculado por , onde e são as partes real e imaginária, respectivamente.
  • é o argumento do número complexo, dado por .
Aplicando isso:
Então, podemos escrever na forma polar:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Fórmula de De Moivre, que diz que:
(r (cos theta + i sin theta))^n = r^n (cos(ntheta) + i sin(ntheta))
Aplicando para (1 + raiz3i)^2022 = [2(cos pi3 + i sin pi3)]^2022 = 2^2022 (cos(2022pi3) + i sin(2022pi3)) :

Passo 4

Vamos simplificar o ângulo 2022pi3 = 674pi . Note que:
cos(674pi) = cos(0) = 1
Como sin(674pi) = sin(0) = 0 e são funções periódicas com período :

Resposta

(1+raiz3i)^2022 = 2^2022

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