(1 ponto) Calcule a área do conjunto B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leqslant 1,-x \leqslant y, x \leqslant y\right\}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede a área do conjunto B.
  • O conjunto B é dado por
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\leqslant 1,\; -x\leqslant y,\; x\leqslant y\}.
  • Informação 1: x^{2}+y^{2}\leqslant 1 é o disco de raio 1 centrado na origem (tudo dentro e sobre o círculo de raio 1).
  • Informação 2: -x\leqslant y e x\leqslant y são duas semirretas/semiplanos delimitados pelas retas y=-x e y=x.
    Não resolvemos nada neste passo — apenas listamos o pedido e os dados.

Passo 2

Interpretar as desigualdades lineares e simplificar a descrição da região:
  • A desigualdade -x\leqslant y é o mesmo que y\geqslant -x.
  • A desigualdade x\leqslant y é o mesmo que y\geqslant x.
  • Ambas juntas significam
y\geqslant x\quad\text{e}\quad y\geqslant -x,
ou seja
y\geqslant \max(x,-x)=|x|.
Portanto, dentro do disco unitário, queremos os pontos que estão acima da “V” formada por y=|x|. Em palavras: B é a parte do disco x^{2}+y^{2}\leqslant 1 que fica acima das retas y=x e y=-x.

Passo 3

Visualizar a região e localizar as direções angulares relevantes:
  • As retas y=x e y=-x passam pela origem e formam um ângulo de 90^\circ entre si. A região y\geqslant|x| é o setor superior entre essas duas retas.
  • Interseções das retas com o círculo x^{2}+y^{2}=1:
    Para y=x substituímos e obtemos 2x^{2}=1, logo x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}. O ponto no semiplano superior é \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
    Para y=-x substituímos e obtemos 2x^{2}=1, e o ponto no semiplano superior é \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Em coordenadas polares (r,\theta) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, esses pontos correspondem às direções angulares \theta=\frac{\pi}{4} (para (\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}})) e \theta=\frac{3\pi}{4} (para (-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}})).
  • Conclusão visual: B é um setor circular do círculo unitário centrado na origem, com ângulo central de \frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} (ou seja, um quarto de círculo no sentido angular de \pi/2).

Passo 4

Determinar rigorosamente o intervalo angular usando trigonometria (para entender bem na prova):
  • Nas polares, as condições y\geqslant x e y\geqslant -x tornam-se
r\sin\theta \geqslant r\cos\theta\quad\text{e}\quad r\sin\theta \geqslant -r\cos\theta.
Como r\geqslant 0, podemos dividir por r (se r=0 o ponto é a origem e já satisfaz ambas), ficando
\sin\theta \geqslant \cos\theta\quad\text{e}\quad \sin\theta \geqslant -\cos\theta.
  • Resolver \sin\theta \geqslant \cos\theta:
    \sin\theta-\cos\theta \ge 0.
    Use a identidade de deslocamento: \sin\theta-\cos\theta=\sqrt{2}\sin\!\big(\theta-\tfrac{\pi}{4}\big). Logo
    \sqrt{2}\sin\!\big(\theta-\tfrac{\pi}{4}\big)\ge 0 \iff \sin\!\big(\theta-\tfrac{\pi}{4}\big)\ge 0.
    Isso acontece quando \theta-\tfrac{\pi}{4}\in[0,\pi] (mod 2\pi), ou seja \theta\in\big[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\big] (considerando o intervalo principal).
  • Resolver \sin\theta \geqslant -\cos\theta:
    \sin\theta+\cos\theta \ge 0.
    Use \sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\!\big(\theta+\tfrac{\pi}{4}\big). Então
    \sin\!\big(\theta+\tfrac{\pi}{4}\big)\ge 0 \iff \theta+\tfrac{\pi}{4}\in[0,\pi] \iff \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}\big].
  • Interseção dos dois intervalos relevantes (no intervalo [0,2\pi) ou escolhendo o ramo superior) dá
\theta\in\big[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}\big].
Isto confirma que o setor tem ângulo \tfrac{3\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Encontrar o intervalo radial e montar a integral para a área (a técnica exata que você deve usar na prova):
  • Para cada \theta entre \tfrac{\pi}{4} e \tfrac{3\pi}{4}, os pontos em B vão do raio r=0 até a fronteira do disco r=1. Logo 0\le r\le 1.
  • Fórmula útil (explicar bem): em coordenadas polares o elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta. Assim a área de uma região descrita por 0\le r\le R(\theta), \theta_1\le\theta\le\theta_2 é
\text{Área}=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{0}^{R(\theta)} r\,dr\,d\theta.Á
  • No nosso caso R(\theta)=1, \theta_1=\tfrac{\pi}{4}, \theta_2=\tfrac{3\pi}{4}. Calculamos:
\text{Área}(B)=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\left(\int_{0}^{1} r\,dr\right)d\theta.Á
  • Calcule a integral interna: \displaystyle\int_{0}^{1} r\,dr=\left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}.
  • Agora a integral externa: \displaystyle\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\tfrac{1}{2}\,d\theta=\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{3\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}\big)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 6

Resumo didático rápido (dicas para a prova):
  • Uma forma curta de pensar: B é um setor do círculo unitário com ângulo \tfrac{\pi}{2}. Área do setor = \tfrac{1}{2}r^{2}\theta com r=1 e \theta=\tfrac{\pi}{2}, então \tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}\cdot \tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{4}.
  • Lembre-se: sempre que tiver retas passando pela origem é natural tentar coordenadas polares; e a identidade \sin a\pm\cos a=\sqrt{2}\sin(a\pm\tfrac{\pi}{4}) resolve rápido desigualdades do tipo \sin\theta\ge\pm\cos\theta.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

Exercícios relacionados