(1 ponto) Calcule a área do conjunto
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede a área do conjunto
. - O conjunto
é dado por
- Informação 1:
é o disco de raio centrado na origem (tudo dentro e sobre o círculo de raio ). - Informação 2:
e são duas semirretas/semiplanos delimitados pelas retas e .
Não resolvemos nada neste passo — apenas listamos o pedido e os dados.
Passo 2
Interpretar as desigualdades lineares e simplificar a descrição da região:
- A desigualdade
é o mesmo que . - A desigualdade
é o mesmo que . - Ambas juntas significam
ou seja
Portanto, dentro do disco unitário, queremos os pontos que estão acima da “V” formada por
. Em palavras:
é a parte do disco
que fica acima das retas
e
.
Passo 3
Visualizar a região e localizar as direções angulares relevantes:
-
As retas
e passam pela origem e formam um ângulo de entre si. A região é o setor superior entre essas duas retas. -
Interseções das retas com o círculo
: Parasubstituímos e obtemos , logo . O ponto no semiplano superior é . Parasubstituímos e obtemos , e o ponto no semiplano superior é . -
Em coordenadas polares
com , , esses pontos correspondem às direções angulares (para ) e (para ). -
Conclusão visual:
é um setor circular do círculo unitário centrado na origem, com ângulo central de (ou seja, um quarto de círculo no sentido angular de ).
Passo 4
Determinar rigorosamente o intervalo angular usando trigonometria (para entender bem na prova):
- Nas polares, as condições
e tornam-se
Como
, podemos dividir por
(se
o ponto é a origem e já satisfaz ambas), ficando
-
Resolver
: Use a identidade de deslocamento:. Logo Isso acontece quando(mod ), ou seja (considerando o intervalo principal). -
Resolver
: Use. Então -
Interseção dos dois intervalos relevantes (no intervalo
ou escolhendo o ramo superior) dá
Isto confirma que o setor tem ângulo
.
Passo 5
Encontrar o intervalo radial e montar a integral para a área (a técnica exata que você deve usar na prova):
- Para cada
entre e , os pontos em vão do raio até a fronteira do disco . Logo . - Fórmula útil (explicar bem): em coordenadas polares o elemento de área é
. Assim a área de uma região descrita por , é
- No nosso caso
, , . Calculamos:
- Calcule a integral interna:
- Agora a integral externa:
Passo 6
Resumo didático rápido (dicas para a prova):
- Uma forma curta de pensar:
é um setor do círculo unitário com ângulo . Área do setor = com e , então . - Lembre-se: sempre que tiver retas passando pela origem é natural tentar coordenadas polares; e a identidade
resolve rápido desigualdades do tipo .