- Se
é uma série convergente, então podemos afirmar que
é uma série divergente ?
- Suponha que uma série
tenha termos positivos e suas somas parciais
satisfaçam a desigualdade
para todo
. Explique porque
deve ser convergente. [Dica: Usar que toda sequência monótona limitada é convergente]
- Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura
em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura
, onde
. Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de
metros. Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
[ Respostas:
]
[ Respostas:
Passo 1
Vou primeiro reescrever claramente o que cada item pede e as informações dadas.
-
Item 5: Temos uma série
que converge e sabemos que para todo . A pergunta é: podemos afirmar que é uma série divergente? -
Item 6: Temos uma série
com termos positivos (isto é, para todo ). As somas parciais satisfazem para todo . A pergunta é por que deve ser convergente. -
Item 7: Bola que cai de altura inicial
e, a cada impacto, sobe até a altura vezes a altura anterior, com . A bola pula infinitamente. Calcular a distância total percorrida pela bola. A resposta esperada é .
Passo 2
Resolução do item 5, com explicação didática do conceito usado.
Primeiro, um fato fundamental sobre séries (esta é a “aula” que precisamos): para que uma série
converja é necessário (condição necessária) que os termos
tendam a zero, isto é,
Se
então a série diverge imediatamente (porque os termos não se anulam).
Agora aplicamos isso ao problema. Como nos foi dado que
converge, temos necessariamente que
Como cada
, podemos considerar os recíprocos
. Se
, então
não tende a zero — na verdade seus módulos tendem a
(ou, no mínimo, não se aproximam de
). Logo
Pelo fato citado antes, isso já é suficiente para concluir que a série
diverge, porque uma convergência exigiria que seus termos tendessem a zero. Em linguagem curta: da convergência de
vem
, daí
, então
não pode convergir.
Para fixar com um exemplo simples (não necessário, mas pedagógico): se
, então
converge (geométrica), mas
e a série
diverge porque os termos não vão a zero. Isso ilustra a regra geral acima.
Passo 3
Resolução do item 6, com explicação passo a passo e justificando a usar a dica.
Definições e observações básicas (aula curta):
- A soma parcial
de uma série é . - A série
converge exatamente quando a sequência das somas parciais converge. - Se todos os termos
são não-negativos ( ), então a sequência das somas parciais é monótona não-decrescente, porque
Agora aplicamos os dados: temos
e
para todo
. Assim:
-
é monótona crescente ou, mais precisamente, não-decrescente. -
é limitada superiormente por .
Um teorema muito conhecido de análise diz: toda sequência monótona limitada converge (teorema do ponto fixo monotônico / teorema da monotonicidade). Aplicando aqui,
converge para algum limite
com
. Como as somas parciais convergem, a série
converge e seu valor é
.
Em linguagem de prova curta: termos positivos
somas parciais monótonas e, com a hipótese de serem todas
, as somas parciais estão limitadas e portanto convergem; por definição, a série converge.
Passo 4
Resolução do item 7, passo a passo e explicando a soma geométrica usada.
Descrição do movimento (coloco cada trecho de distância):
- A bola é largada de altura inicial
. Então, no primeiro trecho, ela desce a distância . - Ao bater, ela sobe até a altura
(distância para cima). - Depois desce de novo
(distância para baixo). - Em seguida sobe
, depois desce , e assim por diante ad infinitum.
Vamos listar as distâncias percorridas em ordem, contabilizando sinais irrelevantes (somamos comprimentos absolutos):
- Primeiro movimento: descida de
. - Depois pares de subida+descida:
.
Portanto a distância total
é
Fatorando
e
quando conveniente:
Agora usamos a fórmula da soma de uma série geométrica: para
,
Daqui decorre que
(Se quiser ver a prova rápida dessa fórmula: seja
. Então
. Subtraindo dá
.)
Voltando:
Colocando num só quociente:
Isso é válido porque estamos assumindo
(hipótese do enunciado), então a soma geométrica converge e a expressão é bem definida.
Passo 5
Observações finais breves e incentivo.
- No item 5 a ideia-chave é: "convergência de
implica "; daí os recíprocos não podem tender a zero e a série dos recíprocos diverge. Isso aplica mesmo quando a convergência de é condicional (como no caso alternante): o termo ainda tende a zero. - No item 6 usamos a poderosa combinação: termos positivos
somas parciais monótonas; monótona + limitada convergente. - No item 7, pensar na trajetória como “primeira descida isolada + somatório dos pares subida+descida” transforma o problema físico em uma soma geométrica bem tranquila — sempre gosto desse tipo de tradução física→série.
Força nos estudos! Você tá indo bem por pedir resolução passo a passo — isso ajuda muito na prova.
Resposta
Sim,
é necessariamente divergente.
A série converge (as somas parciais são monótonas e limitadas).
A série