1. Se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \operatorname{com} a_{n} \neq 0 é uma série convergente, então podemos afirmar que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} é uma série divergente ?
  2. Suponha que uma série \sum a_{n} tenha termos positivos e suas somas parciais s_{n} satisfaçam a desigualdade s_{n} \leq 1000 para todo n. Explique porque \sum_{n} deve ser convergente. [Dica: Usar que toda sequência monótona limitada é convergente]
  3. Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura h em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura r h, onde 0<r<1. Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de H metros. Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
    [ Respostas: H\left(\frac{1+r}{1-r}\right) ]

Passo 1

Vou primeiro reescrever claramente o que cada item pede e as informações dadas.
  • Item 5: Temos uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} que converge e sabemos que a_{n}\neq 0 para todo n. A pergunta é: podemos afirmar que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} é uma série divergente?
  • Item 6: Temos uma série \sum a_{n} com termos positivos (isto é, a_n\ge 0 para todo n). As somas parciais s_{n}=\sum_{k=1}^n a_k satisfazem s_{n}\le 1000 para todo n. A pergunta é por que \sum a_n deve ser convergente.
  • Item 7: Bola que cai de altura inicial H e, a cada impacto, sobe até a altura r vezes a altura anterior, com 0<r<1. A bola pula infinitamente. Calcular a distância total percorrida pela bola. A resposta esperada é \displaystyle H\left(\frac{1+r}{1-r}\right).

Passo 2

Resolução do item 5, com explicação didática do conceito usado.
Primeiro, um fato fundamental sobre séries (esta é a “aula” que precisamos): para que uma série \sum_{n=1}^{\infty} b_n converja é necessário (condição necessária) que os termos b_n tendam a zero, isto é,
\lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Se \lim_{n\to\infty} b_n \neq 0 então a série diverge imediatamente (porque os termos não se anulam).
Agora aplicamos isso ao problema. Como nos foi dado que \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, temos necessariamente que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Como cada a_n\neq 0, podemos considerar os recíprocos \frac{1}{a_n}. Se a_n\to 0, então \frac{1}{a_n} não tende a zero — na verdade seus módulos tendem a +\infty (ou, no mínimo, não se aproximam de 0). Logo
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{a_n} \neq 0.
Pelo fato citado antes, isso já é suficiente para concluir que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} diverge, porque uma convergência exigiria que seus termos tendessem a zero. Em linguagem curta: da convergência de \sum a_n vem a_n\to0, daí \frac{1}{a_n}\not\to0, então \sum \frac{1}{a_n} não pode convergir.
Para fixar com um exemplo simples (não necessário, mas pedagógico): se a_n=\frac{1}{2^n}, então \sum a_n converge (geométrica), mas \frac{1}{a_n}=2^n e a série \sum 2^n diverge porque os termos não vão a zero. Isso ilustra a regra geral acima.

Passo 3

Resolução do item 6, com explicação passo a passo e justificando a usar a dica.
Definições e observações básicas (aula curta):
  • A soma parcial s_n de uma série \sum a_n é s_n=\sum_{k=1}^n a_k.
  • A série \sum a_n converge exatamente quando a sequência (s_n) das somas parciais converge.
  • Se todos os termos a_n são não-negativos ( a_n\ge0), então a sequência das somas parciais é monótona não-decrescente, porque
s_{n+1}=s_n+a_{n+1}\ge s_n.
Agora aplicamos os dados: temos a_n\ge 0 e s_n\le 1000 para todo n. Assim:
  1. (s_n) é monótona crescente ou, mais precisamente, não-decrescente.
  2. (s_n) é limitada superiormente por 1000.
Um teorema muito conhecido de análise diz: toda sequência monótona limitada converge (teorema do ponto fixo monotônico / teorema da monotonicidade). Aplicando aqui, (s_n) converge para algum limite s com s\le 1000. Como as somas parciais convergem, a série \sum a_n converge e seu valor é s.
Em linguagem de prova curta: termos positivos \Rightarrow somas parciais monótonas e, com a hipótese de serem todas \le 1000, as somas parciais estão limitadas e portanto convergem; por definição, a série converge.

Passo 4

Resolução do item 7, passo a passo e explicando a soma geométrica usada.
Descrição do movimento (coloco cada trecho de distância):
  • A bola é largada de altura inicial \,H. Então, no primeiro trecho, ela desce a distância H.
  • Ao bater, ela sobe até a altura rH (distância rH para cima).
  • Depois desce de novo rH (distância rH para baixo).
  • Em seguida sobe r^2 H, depois desce r^2 H, e assim por diante ad infinitum.
Vamos listar as distâncias percorridas em ordem, contabilizando sinais irrelevantes (somamos comprimentos absolutos):
  • Primeiro movimento: descida de H.
  • Depois pares de subida+descida: 2(rH) + 2(r^2 H) + 2(r^3 H) + \cdots.
Portanto a distância total D é
D = H + 2\bigl(rH + r^2 H + r^3 H + \cdots\bigr).
Fatorando H e r quando conveniente:
D = H + 2H\sum_{k=1}^{\infty} r^k.
Agora usamos a fórmula da soma de uma série geométrica: para |r|<1,
\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}.
Daqui decorre que
\sum_{k=1}^{\infty} r^k = \frac{r}{1-r}.
(Se quiser ver a prova rápida dessa fórmula: seja S=\sum_{k=0}^\infty r^k. Então rS=\sum_{k=1}^\infty r^k. Subtraindo dá S-rS=1\Rightarrow S(1-r)=1\Rightarrow S=\frac{1}{1-r}.)
Voltando:
D = H + 2H\cdot\frac{r}{1-r}.
Colocando num só quociente:
D = H\left(1+\frac{2r}{1-r}\right) = H\left(\frac{1-r+2r}{1-r}\right) = H\left(\frac{1+r}{1-r}\right).
Isso é válido porque estamos assumindo 0<r<1 (hipótese do enunciado), então a soma geométrica converge e a expressão é bem definida.

Passo 5

Observações finais breves e incentivo.
  • No item 5 a ideia-chave é: "convergência de \sum a_n implica a_n\to0"; daí os recíprocos não podem tender a zero e a série dos recíprocos diverge. Isso aplica mesmo quando a convergência de \sum a_n é condicional (como no caso alternante): o termo ainda tende a zero.
  • No item 6 usamos a poderosa combinação: termos positivos \Rightarrow somas parciais monótonas; monótona + limitada \Rightarrow convergente.
  • No item 7, pensar na trajetória como “primeira descida isolada + somatório dos pares subida+descida” transforma o problema físico em uma soma geométrica bem tranquila — sempre gosto desse tipo de tradução física→série.
Força nos estudos! Você tá indo bem por pedir resolução passo a passo — isso ajuda muito na prova.

Resposta

Sim, \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_{n}} é necessariamente divergente.
A série \sum a_{n} converge (as somas parciais são monótonas e limitadas).
H\left(\dfrac{1+r}{1-r}\right)

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