(1,5 ponto) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função
no intervalo
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Vamos calcular o comprimento de arco da curva y = x^2 + π no intervalo [1,2]. O conteúdo é comprimento de arco de uma função de uma variável e precisamos da derivada da função e da fórmula de comprimento de arco.
Passo 2
Derivada da função: temos f(x) = x^2 + π, então f’(x) = 2x, pois a derivada de x^2 é 2x e de π é 0.
Passo 3
Fórmula de comprimento de arco: para y = f(x) em [a,b], o comprimento L é dado por
Aqui a = 1 e b = 2.
Passo 4
Substituindo f’(x) na fórmula, obtemos a integral
Essa integral é do tipo
.
Passo 5
Cálculo da antiderivada: usando a fórmula
com substituição u = 2x (logo du = 2 dx) e a = 1, chegamos a
Passo 6
Avaliação nos limites: calculando F(2) e F(1):
Para x = 2 temos , então
Para x = 2 temos
Para x = 1 temos
, então
Passo 7
Comprimento de arco final: subtraindo F(1) de F(2), obtemos