(1,5 ponto) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função y=x^2+pi no intervalo [1 ; 2].

Passo 1

Resumo do enunciado: Vamos calcular o comprimento de arco da curva y = x^2 + π no intervalo [1,2]. O conteúdo é comprimento de arco de uma função de uma variável e precisamos da derivada da função e da fórmula de comprimento de arco.

Passo 2

Derivada da função: temos f(x) = x^2 + π, então f’(x) = 2x, pois a derivada de x^2 é 2x e de π é 0.

Passo 3

Fórmula de comprimento de arco: para y = f(x) em [a,b], o comprimento L é dado por
L = integrala^b raiz1 + (f'(x))^2,dx
Aqui a = 1 e b = 2.

Passo 4

Substituindo f’(x) na fórmula, obtemos a integral
L = integral1^2 raiz1 + (2x)^2,dx = integral1^2 raiz1 + 4x^2,dx
Essa integral é do tipo integral raiza^2 + u^2,du.

Passo 5

Cálculo da antiderivada: usando a fórmula
integral raizu^2 + a^2,du = u2raizu^2 + a^2 + a^22 lnl(u + raizu^2 + a^2r) + C,
com substituição u = 2x (logo du = 2 dx) e a = 1, chegamos a
F(x) = xraiz1 + 4x^22 + 14 lnl(2x + raiz1 + 4x^2r)

Passo 6

Avaliação nos limites: calculando F(2) e F(1):
Para x = 2 temos raiz1 + 4cdot 2^2 = raiz17, então
F(2) = 2raiz172 + 14 ln(4 + raiz17) = raiz17 + 14 ln(4 + raiz17)
Para x = 1 temos raiz1 + 4cdot 1^2 = raiz5, então
F(1) = 1raiz52 + 14 ln(2 + raiz5) = raiz52 + 14 ln(2 + raiz5)

Passo 7

Comprimento de arco final: subtraindo F(1) de F(2), obtemos
L = F(2) - F(1) = raiz17 - raiz52 + 14 lnl(4 + raiz172 + raiz5r)

Resposta

raiz17 - tfracraiz52 + tfrac14 lnl(tfrac4 + raiz172 + raiz5r)

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