( 1,0 ponto) Calcule o comprimento da curva F^{*}(t)=(2 \cos t, 2 \operatorname{sen} t, 3 t), em que 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva vetor F^{*}(t)=(2\cos t,\;2\sin t,\;3t) para 0\le t\le \pi e pede o comprimento dessa curva no intervalo dado.
Informações relevantes:
  • A curva é parametrizada por t.
  • Os componentes são x(t)=2\cos t, y(t)=2\sin t, z(t)=3t.
  • Quer-se o comprimento da curva entre t=0 e t=\pi.

Passo 2

Fórmula que vamos usar: o comprimento (ou arco) de uma curva parametrizada por F(t) de t=a até t=b é
L=\int_{a}^{b}\|F'(t)\|\,dt.
Explicando essa fórmula de forma simples: F'(t) é a velocidade vetorial da curva — ou seja, as derivadas das componentes — e \|F'(t)\| é a velocidade escalar (a rapidez). Integrando a rapidez ao longo do tempo obtemos o comprimento total percorrido. Aqui a=0 e b=\pi.

Passo 3

Calcular F^{*'}(t) derivando cada componente separadamente (derivada componente a componente):
  • Derivada de x(t)=2\cos t é x'(t)=-2\sin t.
  • Derivada de y(t)=2\sin t é y'(t)=2\cos t.
  • Derivada de z(t)=3t é z'(t)=3.
Logo
F^{*'}(t)=(-2\sin t,\;2\cos t,\;3).

Passo 4

Calcular o quadrado da norma de F^{*'}(t) usando a soma dos quadrados das componentes (teorema de Pitágoras em dimensão 3):
\|F^{*'}(t)\|^{2}=(-2\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}+3^{2}.
Desenvolvendo:
\|F^{*'}(t)\|^{2}=4\sin^{2}t+4\cos^{2}t+9.
Usando a identidade trigonométrica básica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, temos
4\sin^{2}t+4\cos^{2}t=4(\sin^{2}t+\cos^{2}t)=4\cdot 1=4.
Portanto
\|F^{*'}(t)\|^{2}=4+9=13.

Passo 5

Da igualdade anterior segue que a norma é constante:
\|F^{*'}(t)\|=\sqrt{13}.
Interpretação intuitiva: a velocidade escalar é constante ao longo da curva — então o comprimento será simplesmente essa velocidade constante vezes a duração do intervalo em t.

Passo 6

Aplicar a fórmula do comprimento com \|F^{*'}(t)\|=\sqrt{13}:
L=\int_{0}^{\pi}\|F^{*'}(t)\|\,dt=\int_{0}^{\pi}\sqrt{13}\,dt=\sqrt{13}\int_{0}^{\pi}dt=\sqrt{13}\,[t]_{0}^{\pi}=\sqrt{13}\,\pi.
Ou seja, o comprimento da curva é \pi\sqrt{13}.

Resposta

\pi\sqrt{13}

Exercícios relacionados