( 1,0 ponto) Calcule o comprimento da curva
, em que
.
Passo 1
O enunciado dá a curva vetor
para
e pede o comprimento dessa curva no intervalo dado.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A curva é parametrizada por
. - Os componentes são
, , . - Quer-se o comprimento da curva entre
e .
Passo 2
Fórmula que vamos usar: o comprimento (ou arco) de uma curva parametrizada por
de
até
é
Explicando essa fórmula de forma simples:
é a velocidade vetorial da curva — ou seja, as derivadas das componentes — e
é a velocidade escalar (a rapidez). Integrando a rapidez ao longo do tempo obtemos o comprimento total percorrido. Aqui
e
.
Passo 3
Calcular
derivando cada componente separadamente (derivada componente a componente):
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Passo 4
Calcular o quadrado da norma de
usando a soma dos quadrados das componentes (teorema de Pitágoras em dimensão 3):
Desenvolvendo:
Usando a identidade trigonométrica básica
, temos
Portanto
Passo 5
Da igualdade anterior segue que a norma é constante:
Interpretação intuitiva: a velocidade escalar é constante ao longo da curva — então o comprimento será simplesmente essa velocidade constante vezes a duração do intervalo em
.
Passo 6
Aplicar a fórmula do comprimento com
:
Ou seja, o comprimento da curva é
.