(1.5 pontos) Calcule o limite \lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt{t+1}-1}{t} t+\frac{t^{2}}{t+2} j+\frac{\operatorname{sen} t}{t} \vec{k}\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t\to0 da expressão
\left(\frac{\sqrt{t+1}-1}{t}\,t+\frac{t^{2}}{t+2}\,\vec{j}+\frac{\sin t}{t}\,\vec{k}\right).
Vou identificar claramente as três componentes (cada uma é uma função de t):
  • Componente 1 (associada a \vec{i} implicitamente): \displaystyle \frac{\sqrt{t+1}-1}{t}\,t.
  • Componente 2 (associada a \vec{j}): \displaystyle \frac{t^{2}}{t+2}.
  • Componente 3 (associada a \vec{k}): \displaystyle \frac{\sin t}{t}.
O que preciso fazer é calcular o limite de cada componente quando t\to0 e então montar o limite do vetor (pois o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes, se cada limite existir).

Passo 2

Simplificar e calcular o limite da primeira componente.
Primeiro simplifico a expressão:
\frac{\sqrt{t+1}-1}{t}\,t=\sqrt{t+1}-1.
Agora calculo \displaystyle \lim_{t\to0}\left(\sqrt{t+1}-1\right). Para mostrar isso de forma algébrica, uso racionalização:
\sqrt{t+1}-1=\frac{(\sqrt{t+1}-1)(\sqrt{t+1}+1)}{\sqrt{t+1}+1} =\frac{(1+t)-1}{\sqrt{t+1}+1}=\frac{t}{\sqrt{t+1}+1}.
Tomando limite t\to0:
\lim_{t\to0}\frac{t}{\sqrt{t+1}+1}=\frac{0}{\sqrt{1}+1}=\frac{0}{2}=0.
Portanto a primeira componente tende a 0.

Passo 3

Calcular o limite da segunda componente \displaystyle \frac{t^{2}}{t+2}.
Como o numerador tende a 0 e o denominador tende a 2\neq0, o limite é
\lim_{t\to0}\frac{t^{2}}{t+2}=\frac{0}{2}=0.
(Isto usa a propriedade de limites de funções racionais: se numerador e denominador têm limites finitos e denominador não é zero, o limite da razão é a razão dos limites.)

Passo 4

Calcular o limite da terceira componente \displaystyle \frac{\sin t}{t}.
Este é um limite clássico. Vou usar o teorema do confronto (squeeze) válido quando t está em radianos. Para t pequeno e positivo vale a desigualdade geométrica
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Para t negativo a desigualdade análoga vale com os sinais apropriados, e o argumento simétrico dá o mesmo limite. Como
\lim_{t\to0}\cos t = 1\quad\text{e}\quad \lim_{t\to0}1=1,
pelo teorema do confronto segue
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
(Esse resultado também pode ser visto via série de Taylor \sin t=t+o(t), o que dá imediatamente \sin t/t\to1.)

Passo 5

Combinar os limites das componentes. Temos:
  • Primeira componente \to 0.
  • Segunda componente \to 0.
  • Terceira componente \to 1.
Logo o limite do vetor é o vetor cujas componentes são esses limites; escrevendo com vetores unitários:
\lim_{t\to0}\left(\frac{\sqrt{t+1}-1}{t}\,t+\frac{t^{2}}{t+2}\,\vec{j}+\frac{\sin t}{t}\,\vec{k}\right) =0\,\vec{i}+0\,\vec{j}+1\,\vec{k}=\vec{k}.

Resposta

\vec{k}

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