(1.5 pontos) Calcule o limite
.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da expressão
Vou identificar claramente as três componentes (cada uma é uma função de
):
- Componente 1 (associada a
implicitamente): - Componente 2 (associada a
): - Componente 3 (associada a
):
O que preciso fazer é calcular o limite de cada componente quando
e então montar o limite do vetor (pois o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes, se cada limite existir).
Passo 2
Simplificar e calcular o limite da primeira componente.
Primeiro simplifico a expressão:
Agora calculo
. Para mostrar isso de forma algébrica, uso racionalização:
Tomando limite
:
Portanto a primeira componente tende a
.
Passo 3
Calcular o limite da segunda componente
.
Como o numerador tende a
e o denominador tende a
, o limite é
(Isto usa a propriedade de limites de funções racionais: se numerador e denominador têm limites finitos e denominador não é zero, o limite da razão é a razão dos limites.)
Passo 4
Calcular o limite da terceira componente
.
Este é um limite clássico. Vou usar o teorema do confronto (squeeze) válido quando
está em radianos. Para
pequeno e positivo vale a desigualdade geométrica
Para
negativo a desigualdade análoga vale com os sinais apropriados, e o argumento simétrico dá o mesmo limite. Como
pelo teorema do confronto segue
(Esse resultado também pode ser visto via série de Taylor
, o que dá imediatamente
.)
Passo 5
Combinar os limites das componentes. Temos:
- Primeira componente
. - Segunda componente
. - Terceira componente
.
Logo o limite do vetor é o vetor cujas componentes são esses limites; escrevendo com vetores unitários: