(1,5 pontos) Calcule a integral dupla
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- A região
é o retângulo com variando de a e variando de a . - A função integranda é
. - A tarefa é calcular o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma simples): como
é um retângulo podemos usar a integração iterada (teorema de Fubini) e integrar primeiro em
e depois em
. Além disso note que a função se separa em fatores dependendo de
e
:
o que facilita os cálculos. A seguir faço a integral iterada
.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Aqui
é tratado como constante, então
pode ser tirado da integral em
. Assim
Agora calcule a primitiva de
: é
. Portanto
Logo a integral interna vale
Passo 4
Agora calcular a integral externa em
:
Fatorando o constante
:
Para integrar
use a primitiva
, porque ao derivar
obtém-se
(regra da cadeia). Assim
Passo 5
Juntando os resultados:
Podemos escrever de forma mais compacta: