(1,5 pontos) Calcule a integral dupla \iint_{R} e^{x+3 y} d A, R=[0,1] \times[0,3].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} e^{x+3y}\,dA,
onde R=[0,1]\times[0,3].
Informações dadas e o que é pedido:
  • A região R é o retângulo com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 3.
  • A função integranda é e^{x+3y}.
  • A tarefa é calcular o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma simples): como R é um retângulo podemos usar a integração iterada (teorema de Fubini) e integrar primeiro em x e depois em y. Além disso note que a função se separa em fatores dependendo de x e y:
e^{x+3y}=e^{x}\,e^{3y},
o que facilita os cálculos. A seguir faço a integral iterada \displaystyle \int_{0}^{3}\!\int_{0}^{1} e^{x+3y}\,dx\,dy.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{1} e^{x+3y}\,dx.
Aqui y é tratado como constante, então e^{3y} pode ser tirado da integral em x. Assim
\int_{0}^{1} e^{x+3y}\,dx = e^{3y}\int_{0}^{1} e^{x}\,dx.
Agora calcule a primitiva de e^{x}: é e^{x}. Portanto
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx = e^{1}-e^{0}=e-1.
Logo a integral interna vale
\int_{0}^{1} e^{x+3y}\,dx = e^{3y}\,(e-1).

Passo 4

Agora calcular a integral externa em y:
\int_{0}^{3} e^{3y}\,(e-1)\,dy.
Fatorando o constante (e-1):
(e-1)\int_{0}^{3} e^{3y}\,dy.
Para integrar e^{3y} use a primitiva \dfrac{1}{3}e^{3y}, porque ao derivar \dfrac{1}{3}e^{3y} obtém-se e^{3y} (regra da cadeia). Assim
\int_{0}^{3} e^{3y}\,dy = \left.\dfrac{1}{3}e^{3y}\right|_{0}^{3} = \dfrac{1}{3}\bigl(e^{9}-1\bigr).

Passo 5

Juntando os resultados:
\iint_{R} e^{x+3y}\,dA = (e-1)\cdot \dfrac{1}{3}\bigl(e^{9}-1\bigr).
Podemos escrever de forma mais compacta:
\iint_{R} e^{x+3y}\,dA = \dfrac{(e-1)\,(e^{9}-1)}{3}.

Resposta

\dfrac{(e-1)\,(e^{9}-1)}{3}

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