(2 pontos) Encontre as raízes da equação
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Precisamos encontrar as raízes da equação
. Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas, especificamente o cosseno hiperbólico. Para resolver essa equação, vamos precisar usar a definição da função cosseno hiperbólico e manipular expressões exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição do cosseno hiperbólico:
Substituindo isso na nossa equação, temos:
Passo 3
Para simplificar a equação, multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados por
para transformar a equação em uma forma quadrática:
Passo 5
Rearranjando os termos, obtemos uma equação quadrática em termos de
:
Passo 6
Para facilitar a resolução, fazemos uma substituição: seja
. Assim, a equação fica:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 8
Voltando à variável original
, temos:
Como o lado direito é negativo, sabemos que
deve ser um número complexo. Podemos expressar
usando logaritmos complexos:
Passo 9
Para lidar com o logaritmo de um número negativo, usamos a identidade
, onde
. Aplicando isso, temos:
Além disso, como funções hiperbólicas são periódicas no plano complexo, adicionamos múltiplos de
para capturar todas as soluções possíveis:
Resposta
As raízes da equação
são dadas por: