(2 pontos) Encontre as raízes da equação cosh z=-2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Precisamos encontrar as raízes da equação cosh z = -2. Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas, especificamente o cosseno hiperbólico. Para resolver essa equação, vamos precisar usar a definição da função cosseno hiperbólico e manipular expressões exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição do cosseno hiperbólico:
cosh z = e^z + e^-z2
Substituindo isso na nossa equação, temos:
e^z + e^-z2 = -2

Passo 3

Para simplificar a equação, multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
e^z + e^-z = -4

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados por e^z para transformar a equação em uma forma quadrática:
e^2z + 1 = -4e^z

Passo 5

Rearranjando os termos, obtemos uma equação quadrática em termos de e^z:
e^2z + 4e^z + 1 = 0

Passo 6

Para facilitar a resolução, fazemos uma substituição: seja w = e^z. Assim, a equação fica:
w^2 + 4w + 1 = 0

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática para w usando a fórmula de Bhaskara:
w = -4 pm raiz16 - 42 = -4 pm raiz122 = -2 pm raiz3

Passo 8

Voltando à variável original z, temos:
e^z = -2 pm raiz3
Como o lado direito é negativo, sabemos que z deve ser um número complexo. Podemos expressar z usando logaritmos complexos:
z = ln(-2 pm raiz3)

Passo 9

Para lidar com o logaritmo de um número negativo, usamos a identidade ln(-a) = ln(a) + ipi, onde a > 0. Aplicando isso, temos:
z = ln(2 pm raiz3) + ipi
Além disso, como funções hiperbólicas são periódicas no plano complexo, adicionamos múltiplos de 2pi i para capturar todas as soluções possíveis:
z = pm ln(2 + raiz3) + ipi + 2pi k i, k in Z

Resposta

As raízes da equação cosh z = -2 são dadas por:
z = pm ln(2 + raiz3) + ipi + 2pi k i, k in Z

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