Questão 4 (2 pontos)
Considere uma função f: R backslash-2 R com as propriedades abaixo e esboce seu gráfico
i) lim x -2^- f(x)=+infty e lim x -2^+ f(x)=-1;
ii) lim x -infty f(x)=2 e lim x +infty f(x)=0;
iii) f^prime(x)<0 apenas se x in(-1,1).
iv) f^prime prime(x)<0 só se x in(-2,0) ou x>2;
  • f^prime(2)=1
  • f(-1)=1
  • f^prime(-1)=0
  • f(0)=-1
  • $f^{\prime}(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função fcolon Rsetminus-2toR cujas características principais são limites que definem assíntotas em x=-2 e em pminfty, variação monótona controlada pelo sinal de f', concavidade controlada pelo sinal de f'', e ainda pontos especiais:
;f(-1)=1,;f'( -1)=0,;f(0)=-1,;f'(1)=0,;f'(2)=1

Passo 2

Analisando limites e assíntotas:
limxto -2^-f(x)=+infty e limxto -2^+f(x)=-1 indicam assíntota vertical em x=-2, com ramo esquerdo indo a +infty e ramo direito começando em -1.
limxto -inftyf(x)=2 e limxto +inftyf(x)=0 definem assíntotas horizontais y=2 à esquerda e y=0 à direita.

Passo 3

Monotonicidade segundo f':
f'(x)<0 só em (-1,1), logo f é decrescente em (-1,1) e crescente em (-infty,-2), em (-2,-1), e em (1,infty).
Como f'(-1)=0 e passa de positivo para negativo, (-1,1) tem máximo local em (-1,1) com f(-1)=1.
Como f'(1)=0 e o sinal muda de negativo para positivo, há mínimo local em x=1; o valor exato f(1) não foi dado, mas deve ser <f(0)=-1.

Passo 4

Concavidade segundo f'':
f''(x)<0 em (-2,0) e em (2,infty), ou seja, concavidade para baixo nesses intervalos.
Em (-infty,-2) e em (0,2) a concavidade é para cima.
Em x=0 ocorre mudança de concavidade, logo ponto de inflexão em (0,-1).
Em x=2 temos f'(2)=1; ali a curva é crescente com inclinação 1 e, como f'' muda de positivo para negativo em 2, há inflexão também em x=2.

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico:
  1. Para xto-infty, f(x) aproxima-se de y=2 (assíntota horizontal), com concavidade para cima até chegar perto de x=-2.
  2. Em x=-2 há assíntota vertical: pelo lado esquerdo fto+infty; pelo direito f parte de -1 e cresce concavamente para baixo até (-1,1), ponto de máximo.
  3. De -1 a 0 f decresce e é côncava para baixo, chega a (0,-1) ponto de inflexão.
  4. De 0 a 1 decresce e é côncava para cima, chega a (1,f(1)<-1) mínimo local.
  5. De 1 a 2 cresce e mantém concavidade para cima até x=2, onde a tangente tem inclinação 1 e ocorre inflexão; daí em diante cresce côncavo para baixo e aproxima-se de y=0 quando xto+infty.

Resposta

Esboce uma curva que satisfaça as assíntotas em x=-2 e em y=2,0, crescendo em (-infty,-2), decrescendo em (-1,1) com máximo em (-1,1) e mínimo em (1,f(1)<-1), inflexões em (0,-1) e em x=2 com f'(2)=1.

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