Questão 4 (2 pontos)
Considere uma função
com as propriedades abaixo e esboce seu gráfico
i)
e
;
ii)
e
;
iii)
apenas se
.
iv)
só se
ou
;
-
-
-
-
- $f^{\prime}(1)=0
Considere uma função
i)
ii)
iii)
iv)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função
cujas características principais são limites que definem assíntotas em
e em
, variação monótona controlada pelo sinal de
, concavidade controlada pelo sinal de
, e ainda pontos especiais:
Passo 2
Analisando limites e assíntotas:
e
indicam assíntota vertical em
, com ramo esquerdo indo a
e ramo direito começando em
.
e
definem assíntotas horizontais
à esquerda e
à direita.
Passo 3
Monotonicidade segundo
:
só em
, logo
é decrescente em
e crescente em
, em
, e em
.
Como e passa de positivo para negativo,
tem máximo local em
com
.
Como e o sinal muda de negativo para positivo, há mínimo local em
; o valor exato
não foi dado, mas deve ser
.
Como
Como
Passo 4
Concavidade segundo
:
em
e em
, ou seja, concavidade para baixo nesses intervalos.
Em e em
a concavidade é para cima.
Em ocorre mudança de concavidade, logo ponto de inflexão em
.
Em temos
; ali a curva é crescente com inclinação
e, como
muda de positivo para negativo em
, há inflexão também em
.
Em
Em
Em
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico:
- Para
, aproxima-se de (assíntota horizontal), com concavidade para cima até chegar perto de . - Em
há assíntota vertical: pelo lado esquerdo ; pelo direito parte de e cresce concavamente para baixo até , ponto de máximo. - De
a decresce e é côncava para baixo, chega a ponto de inflexão. - De
a decresce e é côncava para cima, chega a mínimo local. - De
a cresce e mantém concavidade para cima até , onde a tangente tem inclinação e ocorre inflexão; daí em diante cresce côncavo para baixo e aproxima-se de quando .
Resposta
Esboce uma curva que satisfaça as assíntotas em
e em
, crescendo em
, decrescendo em
com máximo em
e mínimo em
, inflexões em
e em
com
.