(1 ponto) Calcule
em que
é o círculo
percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
Então, precisamos calcular a integral
, onde
é o círculo
percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a resolver integrais de funções complexas através dos resíduos das singularidades dentro do contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da função para identificar onde estão as singularidades (pontos onde a função não é analítica):
Isso mostra que a função tem singularidades em
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do nosso contorno
, que é o círculo
:
- Para
: → Está dentro do círculo. - Para
: → Está fora do círculo.
Então, apenas
está dentro do nosso contorno
.
Passo 4
Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de uma função ao longo de um contorno que envolve singularidades é igual a
vezes a soma dos resíduos dessas singularidades dentro do contorno. Como temos apenas uma singularidade dentro de
, precisamos calcular o resíduo da função em
.
Passo 5
Para encontrar o resíduo em
, usamos a fórmula para resíduos simples:
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos: