(1 ponto) Calcule
integralC 1z^2-4 z+3 d z
em que C é o círculo |z|=2 percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, precisamos calcular a integral , onde é o círculo percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a resolver integrais de funções complexas através dos resíduos das singularidades dentro do contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da função para identificar onde estão as singularidades (pontos onde a função não é analítica):
z^2 - 4z + 3 = (z - 1)(z - 3)
Isso mostra que a função tem singularidades em e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do nosso contorno , que é o círculo :
  • Para : → Está dentro do círculo.
  • Para : → Está fora do círculo.
Então, apenas está dentro do nosso contorno .

Passo 4

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de uma função ao longo de um contorno que envolve singularidades é igual a vezes a soma dos resíduos dessas singularidades dentro do contorno. Como temos apenas uma singularidade dentro de , precisamos calcular o resíduo da função em .

Passo 5

Para encontrar o resíduo em Res(1(z - 1)(z - 3), z = 1) = 1(1 - 3) = 1-2 = -12 , usamos a fórmula para resíduos simples:

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos:
integralC 1z^2-4 z+3 dz = 2pi i times (-12) = -pi i

Resposta

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