(1 ponto) Encontre todos os valores de log (-1-raiz3 i).

Passo 1

O exercício pede para encontrarmos todos os valores de . Vamos trabalhar com logaritmos de números complexos, utilizando conhecimentos de números complexos e suas representações trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo na forma polar. Isso significa expressá-lo como , onde é o módulo e é o argumento do número.

Passo 3

Calculamos o módulo r = raiza^2 + b^2 usando a fórmula:
r = raiz(-1)^2 + (-raiz3)^2 = raiz1 + 3 = raiz4 = 2
onde e . Então:

Passo 4

Agora, encontramos o argumento theta = arctan(ba) = arctan(-raiz3-1) = arctan(raiz3) = pi3 . Sabemos que:
theta = pi3 + pi = 4pi3
Como o número está no terceiro quadrante (ambos e negativos), adicionamos ao ângulo:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula do logaritmo de um número complexo:
log z = ln r + i(theta + 2kpi)
onde é qualquer inteiro.

Passo 6

Substituindo log (-1 - raiz3,i) = ln 2 + i(4pi3 + 2kpi) e na fórmula:
onde .

Resposta

Todos os valores de log (-1 - raiz3,i) = ln 2 + i(4pi3 + 2kpi), k in Z são dados por:

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