(1 ponto) Encontre todos os valores de
.
Passo 1
O exercício pede para encontrarmos todos os valores de
. Vamos trabalhar com logaritmos de números complexos, utilizando conhecimentos de números complexos e suas representações trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
na forma polar. Isso significa expressá-lo como
, onde
é o módulo e
é o argumento do número.
Passo 3
Calculamos o módulo
usando a fórmula:
onde
e
. Então:
Passo 4
Agora, encontramos o argumento
. Sabemos que:
Como o número está no terceiro quadrante (ambos
e
negativos), adicionamos
ao ângulo:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula do logaritmo de um número complexo:
onde
é qualquer inteiro.
Passo 6
Substituindo
e
na fórmula:
onde
.
Resposta
Todos os valores de
são dados por: