(1,5 Ponto)
Calcule integralC -yR^2 x^2+y^2 d x+xR^2 x^2+y^2 d y, quando C percorre a elipse R^2 x^2+y^2=R^2 no sentido anti-horário em função da constante R>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha
integralC -yR^2 x^2+y^2,dx ;+;xR^2 x^2+y^2,dy
onde C é a elipse
R^2x^2+y^2=R^2
percorrida no sentido anti-horário.
O conteúdo envolvido é parametrização de curva e cálculo direto do integral de linha.

Passo 2

Parametrizamos a elipse de forma natural:
x(t)=cos t, y(t)=Rsin t, tin[0,2pi]
Então
dx=-sin t,dt, dy=Rcos t,dt
Além disso, no denominador temos
R^2x^2+y^2 =R^2cos^2t + R^2sin^2t =R^2

Passo 3

Substituindo na integral:
P,dx =-yR^2x^2+y^2,dx =-Rsin tR^2l(-sin t,dtr) =Rsin^2tR^2,dt =sin^2tR,dt,
Q,dy =xR^2x^2+y^2,dy =cos tR^2l(Rcos t,dtr) =Rcos^2tR^2,dt =cos^2tR,dt
Somando:
P,dx+Q,dy =sin^2t+cos^2tR,dt =1R,dt

Passo 4

O integral ao longo de C torna-se
integral0^2pi1R,dt =1Rl[tr]0^2pi =2piR

Resposta

2piR

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