Problema 76 Construa o gráfico das funções exponenciais e logarítmicas:
Passo 1
O enunciado pede o desenho do gráfico de . O conteúdo envolve duas ideias principais: a função exponencial e^x e a definição de valor absoluto, que força a função a ser não negativa, gerando um gráfico em “dois pedaços” (piecewise).
Passo 2
Determinar onde o argumento do valor absoluto muda de sinal. Resolvemos
1 - e^x = 0
que dá e^x=1 e, portanto,
x=0
Para x<= 0 temos e^x<=1implies 1-e^x>=0.
Para x>= 0 temos e^x>=1implies 1-e^x<=0.
Passo 3
Escrever f(x) em forma piecewise conforme o sinal de 1-e^x:
f(x)= 1 - e^x,& x<= 0, e^x - 1,& x>= 0
Passo 4
Analisar o ramo x<=0:
– É a função g(x)=1-e^x, que é decrescente (pois a derivada é -e^x<0).
– Quando xto -infty, g(x)=1-e^xto1-0=1.
– Em x=0, g(0)=1-e^0=0.
Logo, esse ramo cai de 1 (quando xto-infty) até 0 em x=0.
Passo 5
Analisar o ramo x>=0:
– É a função h(x)=e^x-1, que é crescente (derivada e^x>0).
– Em x=0, h(0)=1-1=0.
– Quando xto+infty, h(x)=e^x-1to+infty.
Logo, esse ramo sobe de 0 em x=0 até infinito.
Passo 6
Juntar os dois ramos num único gráfico:
– No ponto x=0 ambos os ramos dão f(0)=0, logo o gráfico é contínuo ali.
– Para x<0 o gráfico é a curva decrescente que parte de (-infty,1) e atinge (0,0).
– Para x>0 o gráfico é a curva exponencial crescente saindo de (0,0) rumo a +infty.
Resposta
f(x)= 1 - e^x,& x<= 0, e^x - 1,& x>= 0
com gráfico formado por dois pedaços que se encontram em (0,0): à esquerda decresce de 1 até 0, à direita cresce de 0 até +infty.