Problema 76 Construa o gráfico das funções exponenciais e logarítmicas:
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico de
O conteúdo envolve funções logarítmicas: primeiro vamos achar o domínio (onde o argumento do log é positivo), depois localizar as assíntotas verticais (quando o argumento tende a zero), analisar o comportamento em
, estudar a monotonicidade via derivada e identificar os interceptos com os eixos.
Passo 2
Determinar o domínio resolvendo
Fatoramos a expressão:
Essa expressão é positiva quando ambos fatores são do mesmo sinal, ou seja, para
Portanto o domínio é
Passo 3
Localizar as assíntotas verticais. Em cada ponto onde
ou
e o argumento do log tende a zero pela direita, temos
Assim, há assíntotas verticais em
(vinda da esquerda) e em
(vinda da direita).
Passo 4
Estudar o comportamento em
. Para
grande,
então
Não há assíntota horizontal; o gráfico sobe indefinidamente em ambas as “pontas”.
Passo 5
Analisar a monotonicidade calculando a derivada:
No intervalo
: temos
e
, logo
, ou seja, o ramo em
é estritamente decrescente.
No intervalo : temos
e
, logo
, ou seja, o ramo em
é estritamente crescente.
No intervalo
Passo 6
Encontrar os interceptos:
Para -intercepto,
:
Para
Para
-interceptos,
implica
As raízes são
ambas pertencentes ao domínio.
Passo 7
Esboço do gráfico:
a) Trace linhas verticais em e
como assíntotas.
b) No ramo , o gráfico sai de
em
, passa em
, cruza em
e cai para
quando
. É decrescente.
c) No ramo , o gráfico sai de
em
, cruza em
e sobe para
conforme
. É crescente.
a) Trace linhas verticais em
b) No ramo
c) No ramo
Resposta
Domínio:
.
Assíntotas verticais em e
.
Interceptos: no eixo
e
no eixo
.
Monotonicidade: decrescente em , crescente em
.
Com essas informações, basta traçar o esboço com os dois ramos separados pelas assíntotas.
Assíntotas verticais em
Interceptos:
Monotonicidade: decrescente em
Com essas informações, basta traçar o esboço com os dois ramos separados pelas assíntotas.