Problema 76 Construa o gráfico das funções exponenciais e logarítmicas:
y=ln (x^2-5 x+6)

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico de
y = lnl(x^2 - 5x + 6r)
O conteúdo envolve funções logarítmicas: primeiro vamos achar o domínio (onde o argumento do log é positivo), depois localizar as assíntotas verticais (quando o argumento tende a zero), analisar o comportamento em xtopminfty, estudar a monotonicidade via derivada e identificar os interceptos com os eixos.

Passo 2

Determinar o domínio resolvendo
x^2 - 5x + 6 > 0
Fatoramos a expressão:
x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)
Essa expressão é positiva quando ambos fatores são do mesmo sinal, ou seja, para
x<2ou x>3
Portanto o domínio é
(-infty,2);cup;(3,infty)

Passo 3

Localizar as assíntotas verticais. Em cada ponto onde xto2 ou xto3 e o argumento do log tende a zero pela direita, temos
limxto2^-lnl((x-2)(x-3)r) = -infty, limxto3^+lnl((x-2)(x-3)r) = -infty
Assim, há assíntotas verticais em x=2 (vinda da esquerda) e em x=3 (vinda da direita).

Passo 4

Estudar o comportamento em xtopminfty. Para lvert xrvert grande,
x^2 -5x +6sim x^2,
então
lnl(x^2-5x+6r)simlnl(x^2r)=2lnlvert xrvertto+infty quando xtopminfty
Não há assíntota horizontal; o gráfico sobe indefinidamente em ambas as “pontas”.

Passo 5

Analisar a monotonicidade calculando a derivada:
y' = ddxlnl(x^2-5x+6r) = 2x-5x^2-5x+6
No intervalo (-infty,2): temos 2x-5<0 e (x-2)(x-3)>0, logo y'<0, ou seja, o ramo em (-infty,2) é estritamente decrescente.
No intervalo (3,infty): temos 2x-5>0 e (x-2)(x-3)>0, logo y'>0, ou seja, o ramo em (3,infty) é estritamente crescente.

Passo 6

Encontrar os interceptos:
Para y-intercepto, x=0:
y(0)=ln(0^2-5cdot0+6)=ln6
Para x-interceptos, y=0 implica
lnl(x^2-5x+6r)=0 Longrightarrow x^2-5x+6=1 Longrightarrow x^2-5x+5=0
As raízes são
x = 5pmraiz25-202 = 5pmraiz52 approx 1,382e3,618,
ambas pertencentes ao domínio.

Passo 7

Esboço do gráfico:
a) Trace linhas verticais em x=2 e x=3 como assíntotas.
b) No ramo (-infty,2), o gráfico sai de +infty em xto-infty, passa em (0,ln6)approx(0,1,79), cruza em l(1,382,0r) e cai para -infty quando xto2^-. É decrescente.
c) No ramo (3,infty), o gráfico sai de -infty em xto3^+, cruza em l(3,618,0r) e sobe para +infty conforme xto+infty. É crescente.

Resposta

Domínio: (-infty,2)cup(3,infty).
Assíntotas verticais em x=2 e x=3.
Interceptos: l(0,ln6r) no eixo y e l(tfrac5pmraiz52,0r) no eixo x.
Monotonicidade: decrescente em (-infty,2), crescente em (3,infty).
Com essas informações, basta traçar o esboço com os dois ramos separados pelas assíntotas.

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