1- (2 pontos) A funçõo u=cos (x^2+y^2) é soluçāo da equação diferencial?
ux x+uy y=0

Passo 1

O enunciado pergunta se a função
u(x,y)=cosl(x^2+y^2r)
é harmônica, ou seja, se satisfaz a equação de Laplace
uxx+uyy=0

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem. Seja r^2=x^2+y^2. Então
ux = -sin(r^2),partialpartial x(r^2) = -sin(x^2+y^2)cdot2x = -2xsin(x^2+y^2),
uy = -2ysin(x^2+y^2)

Passo 3

Agora as derivadas de segunda ordem:
uxx = partialpartial xl(-2xsin(x^2+y^2)r) = -2sin(x^2+y^2) -2xcos(x^2+y^2)cdot2x = -2sin(x^2+y^2)-4x^2cos(x^2+y^2),
uyy = -2sin(x^2+y^2)-4y^2cos(x^2+y^2)
Somando:
uxx+uyy = -4sin(x^2+y^2)-4(x^2+y^2)cos(x^2+y^2) = -4l[sin(x^2+y^2)+(x^2+y^2)cos(x^2+y^2)r]

Passo 4

Note que
uxx+uyy neq 0
em geral, pois o termo entre colchetes não se anula para todos os (x,y). Logo u não é solução da equação de Laplace.

Resposta

Não.

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