Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
Questão 8. Determinar a expressão da integral que permite calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas:
; de
até
Questão 8. Determinar a expressão da integral que permite calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas:
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por
no ramo com
, entre os pontos
e
. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica. Vamos parametrizar a hipérbole e usar a fórmula
Passo 2
Uma parametrização padrão da hipérbole
é
pois
. Nos pontos dados temos
, logo
E de fato , conferindo os
.
Passo 3
Calculamos as derivadas
e o integrando da fórmula do comprimento de arco:
Passo 4
Os limites de
vão de a . Portanto a expressão da integral do comprimento é