Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
Questão 8. Determinar a expressão da integral que permite calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas:
x^2-y^2=1; de (3,-2 sqrt2) até (3,2 sqrt2)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por
x^2-y^2=1
no ramo com x>=1, entre os pontos (3,-2raiz2) e (3,2raiz2). O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica. Vamos parametrizar a hipérbole e usar a fórmula
L=integralt1^t2raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2;dt

Passo 2

Uma parametrização padrão da hipérbole é
pois . Nos pontos dados temos , logo
E de fato , conferindo os .

Passo 3

Calculamos as derivadas
dxdt=sinh t, dydt=cosh t,
e o integrando da fórmula do comprimento de arco:
raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2 =raizsinh^2t+cosh^2t =raizcosh(2t)

Passo 4

Os limites de vão de a . Portanto a expressão da integral do comprimento é

Resposta

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