(1,0 ponto) Calcule o seguinte limite:
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
onde
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A expressão depende de
(tendendo a infinito) e de um parâmetro fixo real. - A soma é
. - O fator multiplicativo é
.
Passo 2
Vamos reescrever a soma de forma que fique clara a conexão com uma soma de Riemann. Defina, para cada
,
Então
. O incremento entre pontos consecutivos é
Portanto a expressão dada pode ser escrita como
Passo 3
Explicando didaticamente o que significa essa escrita: uma soma de Riemann aproximando uma integral tem a forma
onde
-
é a função que estamos integrando (aqui ), -
é um ponto da -ésima subintervalo da partição do intervalo entre dois extremos, -
é a largura (tamanho) do subintervalo igual a .
No nosso caso os pontosvão de até . Assim estamos, efetivamente, particionando o intervalo entre e em subintervalos iguais e tomando o ponto direito de cada subintervalo.
Passo 4
Teorema usado (explicado de forma simples): se
é contínua num intervalo
, então qualquer soma de Riemann regular do tipo
com
em cada subintervalo e
converge, quando
, para a integral definida
Aqui a função
é contínua em toda
, logo o limite da nossa soma de Riemann é a integral de
entre
e
:
Passo 5
Agora calculamos a integral. Uma primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Assim
Como
, obtemos
Passo 6
Vale comentar rapidamente casos especiais e a coerência para todo
:
- Se
a soma é zero e . - Se
a partição descrita vai de a (com ), mas o teorema das somas de Riemann também cobre esse caso (ou alternativamente se pode trocar os extremos e obter o mesmo resultado). A fórmula continua válida para todo .
Passo 7
Portanto, juntando tudo: a soma dada é uma soma de Riemann para
, e o limite quando
é esse integral, que calculamos como
. Uma forma prática de ver isto numericamente é: para
o resultado dá
, e somas com
grande aproximam
.