(1,0 ponto) Calcule o seguinte limite: \lim _{n \longrightarrow \infty}\left[\left(\frac{x}{n}\right) \sum_{j=1}^{n} \operatorname{sen}\left(\frac{j x}{n}\right)\right], onde x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\left[\left(\frac{x}{n}\right)\sum_{j=1}^{n}\operatorname{sen}\!\left(\frac{j x}{n}\right)\right],
onde x\in\mathbb{R}.
Informações fornecidas:
  • A expressão depende de n (tendendo a infinito) e de um parâmetro x fixo real.
  • A soma é \sum_{j=1}^{n}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{j x}{n}\right).
  • O fator multiplicativo é \dfrac{x}{n}.

Passo 2

Vamos reescrever a soma de forma que fique clara a conexão com uma soma de Riemann. Defina, para cada j,
t_j=\frac{j x}{n}.
Então \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{j x}{n}\right)=\operatorname{sen}(t_j). O incremento entre pontos consecutivos é
\Delta t = t_j-t_{j-1}=\frac{x}{n}.
Portanto a expressão dada pode ser escrita como
\left(\frac{x}{n}\right)\sum_{j=1}^{n}\operatorname{sen}\!\left(\frac{j x}{n}\right) =\sum_{j=1}^{n}\operatorname{sen}(t_j)\,\Delta t.

Passo 3

Explicando didaticamente o que significa essa escrita: uma soma de Riemann aproximando uma integral tem a forma
\sum_{j=1}^{n} f(t_j)\,\Delta t,
onde
  • f é a função que estamos integrando (aqui f(t)=\operatorname{sen}(t)),
  • t_j é um ponto da j-ésima subintervalo da partição do intervalo entre dois extremos,
  • \Delta t é a largura (tamanho) do subintervalo igual a \dfrac{\text{comprimento do intervalo}}{n}.
    No nosso caso os pontos t_j vão de t_1=\dfrac{x}{n} até t_n=\dfrac{n x}{n}=x. Assim estamos, efetivamente, particionando o intervalo entre 0 e x em n subintervalos iguais e tomando o ponto direito de cada subintervalo.

Passo 4

Teorema usado (explicado de forma simples): se f é contínua num intervalo [a,b], então qualquer soma de Riemann regular do tipo
\sum_{j=1}^n f(t_j)\,\Delta t
com t_j em cada subintervalo e \Delta t=(b-a)/n converge, quando n\to\infty, para a integral definida
\int_a^b f(t)\,dt.
Aqui a função f(t)=\operatorname{sen}(t) é contínua em toda \mathbb{R}, logo o limite da nossa soma de Riemann é a integral de f entre 0 e x:
\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^{n}\operatorname{sen}(t_j)\,\Delta t=\int_{0}^{x}\operatorname{sen}(t)\,dt.

Passo 5

Agora calculamos a integral. Uma primitiva de f(t)=\operatorname{sen}(t) é -\cos(t), porque a derivada de -\cos(t) é \operatorname{sen}(t). Assim
\int_{0}^{x}\operatorname{sen}(t)\,dt=\big[-\cos(t)\big]_{0}^{x}=-\cos(x)-\big(-\cos(0)\big)=-\cos(x)+\cos(0).
Como \cos(0)=1, obtemos
\int_{0}^{x}\operatorname{sen}(t)\,dt=1-\cos(x).

Passo 6

Vale comentar rapidamente casos especiais e a coerência para todo x\in\mathbb{R}:
  • Se x=0 a soma é zero e 1-\cos(0)=0.
  • Se x<0 a partição descrita vai de 0 a x (com \Delta t=x/n<0), mas o teorema das somas de Riemann também cobre esse caso (ou alternativamente se pode trocar os extremos e obter o mesmo resultado). A fórmula \int_0^x \operatorname{sen}(t)\,dt=1-\cos(x) continua válida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 7

Portanto, juntando tudo: a soma dada é uma soma de Riemann para \int_0^x \operatorname{sen}(t)\,dt, e o limite quando n\to\infty é esse integral, que calculamos como 1-\cos(x). Uma forma prática de ver isto numericamente é: para x=\pi o resultado dá 1-\cos(\pi)=1-(-1)=2, e somas com n grande aproximam 2.

Resposta

1-\cos(x)

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